а) Решите уравнение \(\displaystyle 7\sin \left ( x+\frac{\pi}{2}\right )+4\sqrt{3} \sin x \cos x =4\cos^3 x \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\displaystyle \left [ -\frac{5\pi}{2}; -\pi \right ] .\)
Решение:
По формуле приведения,
\(\displaystyle \sin \left ( x+\frac{\pi}{2} \right )=\cos x;\)
\(7\cos x +4\sqrt{3}\sin x \cos x -4 \cos ^3 x =0;\)
\(\cos x \left ( 7+4\sqrt{3} \sin x -4\cos^2 x \right )=0\)
\(\cos x \left ( 7+4\sqrt{3} \sin x -4+4\sin^2 x \right )=0\)
\(\cos x \left ( 2\sin x + \sqrt{3} \right )^2=0 \Leftrightarrow \)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c} \cos x =0
\\ \sin x = - \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{array}\right.
\Leftrightarrow
\left[\begin{array}{c}
x = \frac{\pi}{2}+\pi n,\; k \in Z\\
x = - \frac{\pi}{3}+2 \pi n, \; n \in Z \\
x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n
\end{array}\right.\)
б) Найдем корни на отрезке \(\displaystyle \left [ - \frac{5\pi}{2}; - \pi \right ]\) с помощью единичной окружности. Видим, что указанному отрезку принадлежат точки \(\displaystyle -\frac{5\pi}{2};\; -\frac{7\pi}{3}; \; -\frac{3 \pi}{2}.\)
