previous arrow
next arrow
Slider

Задача 13 ЕГЭ-2021, Резервный день

а) Решите уравнение \displaystyle 7\sin \left ( x+\frac{\pi}{2}\right )+4\sqrt{3} \sin x \cos x =4\cos^3 x

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \displaystyle \left [ -\frac{5\pi}{2}; -\pi \right ] .

Решение:

По формуле приведения,

\displaystyle \sin \left ( x+\frac{\pi}{2} \right )=\cos x;

7\cos x +4\sqrt{3}\sin x \cos x -4 \cos ^3 x =0;

\cos x \left ( 7+4\sqrt{3} \sin x -4\cos^2 x \right )=0

\cos x \left ( 7+4\sqrt{3} \sin x -4+4\sin^2 x \right )=0

\cos x \left ( 2\sin x + \sqrt{3} \right )^2=0 \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c} \cos x =0\\ \sin x = - \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}x = \frac{\pi}{2}+\pi n,\; k \in Z\\x = - \frac{\pi}{3}+2 \pi n, \; n \in Z \\x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n\end{array}\right.

б) Найдем корни на отрезке \displaystyle \left [ - \frac{5\pi}{2}; - \pi \right ] с помощью единичной окружности. Видим, что указанному отрезку принадлежат точки \displaystyle -\frac{5\pi}{2};\; -\frac{7\pi}{3}; \; -\frac{3 \pi}{2}.