В основании правильной треугольной призмы лежит треугольник АВС. На прямой
отмечена точка D так, что точка
– середина отрезка AD. На прямой
отмечена точка Е
так, что – середина отрезка
А) Докажите, что прямые и DE перпендикулярны.
Б) Найдите расстояние между прямыми АВ и DE, если АВ = 3,
Решение:
а) Докажем, что
Пусть
– середина отрезка
Тогда
– средняя линия треугольника
– правильный,
– его медиана и высота,
Так как – проекция D на
– проекция
на плоскость
по теореме о трех перпендикулярах.
б) Найдем расстояние между и
если
Пусть
– середина
Тогда – прямоугольник,
Также
по признаку перпендикулярности прямой и плоскости; в плоскости
проведем
– трапеция,
где
– высота правильного треугольника
тогда
Проведем
по двум углам,
Из где
получим: