Задача 14 ЕГЭ-2021, Резервный день

В основании правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит треугольник АВС. На прямой $AA_1$ отмечена точка D так, что точка $A_1$ – середина отрезка AD. На прямой $B_1C_1$ отмечена точка Е
так, что $C_1$ – середина отрезка $B_1E.$

А) Докажите, что прямые $A_1B_1$ и DE перпендикулярны.
Б) Найдите расстояние между прямыми АВ и DE, если АВ = 3, $AA_1=1.$

Решение:

а) Докажем, что $A_1 B_1 \perp DE.$

Пусть $F \in \left ( A_1 B_1 \right );$

$A_1$ – середина отрезка $\left [ B_1F \right ] .$ Тогда $A_1C_1$ – средняя линия треугольника $FEB_1;$

$\triangle FEB_1 \sim \triangle A_1C_1B_1, \;\triangle FEB_1$ – правильный, $EA_1$ – его медиана и высота, $EA_1 \perp FB_1.$

Так как $DA_1\perp \left ( A_1B_1C_1 \right ),\;A_1$ – проекция D на $(A_1B_1C_1),\;A_1E$ – проекция $DE$ на плоскость $A_1B_1C_1,\;A_1E \perp A_1B_1 \Rightarrow DE \perp A_1B_1$ по теореме о трех перпендикулярах.

б) Найдем расстояние между $AB$ и $DE,$ если $AB=3, \; AA_1 =1.$ Пусть $K \in (BC), \; C$ – середина $[BK].$

Тогда $AA_1EK$ – прямоугольник, $AK \parallel A_1E \Rightarrow AK \perp A_1 B_1 \Rightarrow AK \perp AB .$ Также $AA_1 \perp AB \Rightarrow (AA_1E) \perp AB$ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости; в плоскости $(AA_1E)$ проведем $AH \perp DE.$