previous arrow
next arrow
Slider

Задача 14 ЕГЭ-2021, Резервный день

В основании правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 лежит треугольник АВС. На прямой AA_1 отмечена точка D так, что точка A_1 – середина отрезка AD. На прямой B_1C_1 отмечена точка Е
так, что C_1 – середина отрезка B_1E.

А) Докажите, что прямые A_1B_1 и DE перпендикулярны.
Б) Найдите расстояние между прямыми АВ и DE, если АВ = 3, AA_1=1.

Решение:

а) Докажем, что A_1 B_1 \perp DE.

Пусть F \in \left ( A_1 B_1 \right );

A_1 – середина отрезка \left [ B_1F \right ] . Тогда A_1C_1 – средняя линия треугольника FEB_1;

\triangle FEB_1 \sim \triangle A_1C_1B_1, \;\triangle FEB_1 – правильный, EA_1 – его медиана и высота, EA_1 \perp FB_1.

Так как DA_1\perp \left ( A_1B_1C_1 \right ),\;A_1 – проекция D на (A_1B_1C_1),\;A_1E – проекция DE на плоскость A_1B_1C_1,\;A_1E \perp A_1B_1 \Rightarrow DE \perp A_1B_1 по теореме о трех перпендикулярах.

б) Найдем расстояние между AB и DE, если AB=3, \; AA_1 =1. Пусть K \in (BC), \; C – середина [BK].

Тогда AA_1EK – прямоугольник, AK \parallel A_1E \Rightarrow AK \perp A_1 B_1 \Rightarrow AK \perp AB . Также AA_1 \perp AB \Rightarrow (AA_1E) \perp AB по признаку перпендикулярности прямой и плоскости; в плоскости (AA_1E) проведем AH \perp DE.

ADEK – трапеция, AD \parallel EK,\; EK =AA_1=1,\;AD=2EK=2,\;AK=2h, где h – высота правильного треугольника ABC,

\displaystyle h=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}, тогда AK=3\sqrt{3}.

Проведем ET \perp AD;

ET \parallel AK,\; ET = AK=3\sqrt{3} .

\triangle ADH \sim \triangle EDT по двум углам, \displaystyle \frac{AH}{ET}=\frac{AD}{DE};

Из \triangle TDE, где ET = 3 \sqrt{3,} DT=1, получим:

DE = \sqrt{(3\sqrt{3})^2+1^2} = \sqrt{28} = 2 \sqrt{7}

\displaystyle AH=\frac{AD \cdot ET}{DE}= \frac{2\cdot 3 \sqrt{3}}{2\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{21}}{7}