Решите неравенство:
\(\displaystyle \frac{1}{3^x-1}+\frac{9^{x+\frac{1}{2}}-3^{x+3}}{3^x-9}\geq 3^{x+1}\)
Решение:
\(\displaystyle \frac{1}{3^x-1}+\frac{3\cdot 3^{2x}-27\cdot 3^{x}+3}{3^x-9}\geq 3\cdot 3^{x}\)
Замена: \(3^x =t; \; t\textgreater 0.\)
\(\displaystyle \frac{1}{t-1}+\frac{3t^2 -27t+3}{t-9} \geq 3t\)
\(\displaystyle \frac{1}{t-1}+3t\cdot \frac{t-9}{t-9}+\frac{3}{t-9} \geq 3t\)
\(\displaystyle \frac{1}{t-1}+3t+ \frac{3}{t-9} \geq 3t\)
(Выделили целую часть в левой части неравенства),
\(\displaystyle \frac{1}{t-1}+\frac{3}{t-9} \geq 0\)
\(\displaystyle \frac{t-9+3t-3}{(t-1)(t-9)} \geq 0\)
\(\displaystyle \frac{4t-12}{(t-1)(t-9)} \geq 0\)
\(\displaystyle \frac{t-3}{(t-1)(t-9)} \geq 0\)
Метод интервалов:
\(\left[\begin{array}{c}
1\textless t\leq 3\\
t \textgreater 9
\end{array}\right.\)
Вернемся к переменной x:
\(\left[\begin{array}{c}
1\textless 3^{x} \leq 3\\
3^{x}\textgreater 9
\end{array}\right.
\Leftrightarrow
\left[\begin{array}{c}
0\textless x \leq 1\\
x\textgreater 2
\end{array}\right.
,\)
так как функция \(y=3^x\) монотонно возрастает.
Ответ: \(x \in \left ( 0;1 \right ] \cup \left ( 2;+\infty \right )\)
