Задача 15 ЕГЭ-2021, Резервный день

Решите неравенство:

$\displaystyle \frac{1}{3^x-1}+\frac{9^{x+\frac{1}{2}}-3^{x+3}}{3^x-9}\geq 3^{x+1}$

Решение:

$\displaystyle \frac{1}{3^x-1}+\frac{3\cdot 3^{2x}-27\cdot 3^{x}+3}{3^x-9}\geq 3\cdot 3^{x}$

Замена: $3^x =t; \; t\textgreater 0.$

$\displaystyle \frac{1}{t-1}+\frac{3t^2 -27t+3}{t-9} \geq 3t$

$\displaystyle \frac{1}{t-1}+3t\cdot \frac{t-9}{t-9}+\frac{3}{t-9} \geq 3t$

$\displaystyle \frac{1}{t-1}+3t+ \frac{3}{t-9} \geq 3t$

(Выделили целую часть в левой части неравенства),

$\displaystyle \frac{1}{t-1}+\frac{3}{t-9} \geq 0$

$\displaystyle \frac{t-9+3t-3}{(t-1)(t-9)} \geq 0$

$\displaystyle \frac{4t-12}{(t-1)(t-9)} \geq 0$

$\displaystyle \frac{t-3}{(t-1)(t-9)} \geq 0$

Метод интервалов:

$\left[\begin{array}{c}1\textless t\leq 3\\t \textgreater 9\end{array}\right.$

Вернемся к переменной x:

$\left[\begin{array}{c}1\textless 3^{x} \leq 3\\3^{x}\textgreater 9\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}0\textless x \leq 1\\x\textgreater 2\end{array}\right.,$

так как функция $y=3^x$ монотонно возрастает.

Ответ: $x \in \left ( 0;1 \right ] \cup \left ( 2;+\infty \right )$

Задача 15 ЕГЭ-2021, Резервный день

Это полезно