previous arrow
next arrow
Slider

Задача 15 ЕГЭ-2021, Резервный день

Решите неравенство:

\displaystyle \frac{1}{3^x-1}+\frac{9^{x+\frac{1}{2}}-3^{x+3}}{3^x-9}\geq 3^{x+1}

Решение:

\displaystyle \frac{1}{3^x-1}+\frac{3\cdot 3^{2x}-27\cdot 3^{x}+3}{3^x-9}\geq 3\cdot 3^{x}

Замена: 3^x =t; \; t\textgreater 0.

\displaystyle \frac{1}{t-1}+\frac{3t^2 -27t+3}{t-9} \geq 3t

\displaystyle \frac{1}{t-1}+3t\cdot \frac{t-9}{t-9}+\frac{3}{t-9} \geq 3t

\displaystyle \frac{1}{t-1}+3t+ \frac{3}{t-9} \geq 3t

(Выделили целую часть в левой части неравенства),

\displaystyle \frac{1}{t-1}+\frac{3}{t-9} \geq 0

\displaystyle \frac{t-9+3t-3}{(t-1)(t-9)} \geq 0

\displaystyle \frac{4t-12}{(t-1)(t-9)} \geq 0

\displaystyle \frac{t-3}{(t-1)(t-9)} \geq 0

Метод интервалов:

\left[\begin{array}{c}1\textless t\leq 3\\t \textgreater 9\end{array}\right.

Вернемся к переменной x:

\left[\begin{array}{c}1\textless 3^{x} \leq 3\\3^{x}\textgreater 9\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}0\textless x \leq 1\\x\textgreater 2\end{array}\right.,

так как функция y=3^x монотонно возрастает.

Ответ: x \in \left ( 0;1 \right ] \cup \left ( 2;+\infty \right )