Окружность с центром О, построенная на катете АС прямоугольного треугольника АВС, как на диаметре, пересекает гипотенузу АВ в точках А и D. Касательная, проведенная к этой окружности в точке D, пересекает катет ВС в точке М.
А) Докажите, что ВМ = СМ
Б) Прямая DM пересекает прямую АС в точке Р, прямая ОМ пересекает прямую ВР в точке К.
Найдите ВК : КР, если \(\cos \angle BAC = \frac{2\sqrt{5}}{5}.\)
Решение:
а) Так как \(OA=OD=R\) – радиус окружности, \(\angle OAD=\angle ODA = \alpha ,\; \triangle OAD\) – равнобедренный, так как \(OD \perp DM, \; \angle ODM = 90^\circ\) (касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания), тогда \(\angle BDM = 180^\circ - 90^\circ - \alpha = \angle ABC;\)
\(\triangle BDM\) равнобедренный, \(\angle DBM = \angle BDM = \beta = 90^\circ - \alpha .\)
\(\angle CDM\) – угол между касательной и хордой, \(\displaystyle \angle CDM = \frac{1}{2} \breve{CD} = \angle CAD = \alpha .\)
Тогда \(\angle CDM +\angle BDM = \alpha +\beta=90^\circ ,\; CD \perp AB,\) т.е. \(CD\) – высота \(\triangle ABC, \; \triangle CBD\) – прямоугольный, \(\angle DCB = 90^\circ - \beta = \alpha, \; \triangle CDM\) – равнобедренный, \(CM = DM,\) отсюда \(CM = BM.\)
б)
Найдем BK : KP, если \(\displaystyle \cos \angle BAC = \frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{2}{\sqrt{5}},\) тогда \(\displaystyle \sin \angle BAC = \frac{1}{\sqrt{5}},\)
\(\displaystyle tg \angle BAC = tg \alpha = \frac{1}{2}.\)
\(OM\) – средняя линия
\(OM \parallel AB, \; \triangle ABC , \; OM \perp CD .\)
Значит, \(\angle OMC = \beta = \angle BMK ; \) (вертикальные), \(\triangle DBM \) - равнобедренный, \(\angle D =\angle B = \beta ,\) тогда \(\angle DMB = 180^\circ - 2 \beta = \angle CMP , \) так как \(\angle CMP + \angle PKM \ne \angle BMK = 180^ \circ ,\) \(\angle PMK = 180^ \circ - 180^\circ +2\beta - \beta = \beta,\) MK – биссектриса \(\angle PMP ,\) \(\angle PMK = \angle BMK = \beta .\)
Из \(\triangle PMK\) по свойству биссектрисы \(BK : KP = BM : PM;\)
Пусть \(BC=a,\) тогда \(AC = 2a\) (т.к. \(\displaystyle tg \alpha = \frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}\)), \(BM=\frac{a}{2}.\)
\(\displaystyle OD = a = \frac{AC}{2},\) в \(\triangle ODP\) \(\angle POD = 2 \alpha\) (внешний угол \(\triangle AOB\)),
\(\frac{PD}{OD}=tg2\alpha;\)
\(\displaystyle tg 2 \alpha = \frac{2tg \alpha}{1-tg^2 \alpha} = \frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3},\)
\(\displaystyle PD = \frac{4}{3}OD=\frac{4}{3}a;\)
\(\displaystyle PM=PD-DM=\frac{4}{3}a-\frac{a}{2}=\frac{5a}{6};\)
\(\displaystyle \frac{BK}{KP}=\frac{BM}{PM}=\frac{a\cdot 6}{2\cdot 5a} = \frac{3}{5}\)
Ответ: 3:5
