Задача 16 ЕГЭ-2021, Резервный день

Окружность с центром О, построенная на катете АС прямоугольного треугольника АВС, как на диаметре, пересекает гипотенузу АВ в точках А и D. Касательная, проведенная к этой окружности в точке D, пересекает катет ВС в точке М.

А) Докажите, что ВМ = СМ
Б) Прямая DM пересекает прямую АС в точке Р, прямая ОМ пересекает прямую ВР в точке К.

Найдите ВК : КР, если $\cos \angle BAC = \frac{2\sqrt{5}}{5}.$
Решение:

а) Так как $OA=OD=R$ – радиус окружности, $\angle OAD=\angle ODA = \alpha ,\; \triangle OAD$ – равнобедренный, так как $OD \perp DM, \; \angle ODM = 90^\circ$ (касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания), тогда $\angle BDM = 180^\circ - 90^\circ - \alpha = \angle ABC;$

$\triangle BDM$ равнобедренный, $\angle DBM = \angle BDM = \beta = 90^\circ - \alpha .$

$\angle CDM$ – угол между касательной и хордой, $\displaystyle \angle CDM = \frac{1}{2} \breve{CD} = \angle CAD = \alpha .$

Тогда $\angle CDM +\angle BDM = \alpha +\beta=90^\circ ,\; CD \perp AB,$ т.е. $CD$ – высота $\triangle ABC, \; \triangle CBD$ – прямоугольный, $\angle DCB = 90^\circ - \beta = \alpha, \; \triangle CDM$ – равнобедренный, $CM = DM,$ отсюда $CM = BM.$

б)

Найдем BK : KP, если $\displaystyle \cos \angle BAC = \frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{2}{\sqrt{5}},$ тогда $\displaystyle \sin \angle BAC = \frac{1}{\sqrt{5}},$

$\displaystyle tg \angle BAC = tg \alpha = \frac{1}{2}.$

$OM$ – средняя линия

$OM \parallel AB, \; \triangle ABC , \; OM \perp CD .$

Значит, $\angle OMC = \beta = \angle BMK ;$ (вертикальные), $\triangle DBM$ - равнобедренный, $\angle D =\angle B = \beta ,$ тогда $\angle DMB = 180^\circ - 2 \beta = \angle CMP ,$ так как $\angle CMP + \angle PKM \ne \angle BMK = 180^ \circ ,$ $\angle PMK = 180^ \circ - 180^\circ +2\beta - \beta = \beta,$ MK – биссектриса $\angle PMP ,$ $\angle PMK = \angle BMK = \beta .$

Из $\triangle PMK$ по свойству биссектрисы $BK : KP = BM : PM;$

Пусть $BC=a,$ тогда $AC = 2a$ (т.к. $\displaystyle tg \alpha = \frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$ ), $BM=\frac{a}{2}.$

$\displaystyle OD = a = \frac{AC}{2},$ в $\triangle ODP$ $\angle POD = 2 \alpha$ (внешний угол $\triangle AOB$ ),

$\frac{PD}{OD}=tg2\alpha;$

$\displaystyle tg 2 \alpha = \frac{2tg \alpha}{1-tg^2 \alpha} = \frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3},$

$\displaystyle PD = \frac{4}{3}OD=\frac{4}{3}a;$

$\displaystyle PM=PD-DM=\frac{4}{3}a-\frac{a}{2}=\frac{5a}{6};$

$\displaystyle \frac{BK}{KP}=\frac{BM}{PM}=\frac{a\cdot 6}{2\cdot 5a} = \frac{3}{5}$

Ответ: 3:5

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Задача 16 ЕГЭ-2021, Резервный день» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 06.06.2023

Задача 16 ЕГЭ-2021, Резервный день

Это полезно