previous arrow
next arrow
Slider

Задача 16 ЕГЭ-2021, Резервный день

Окружность с центром О, построенная на катете АС прямоугольного треугольника АВС, как на диаметре, пересекает гипотенузу АВ в точках А и D. Касательная, проведенная к этой окружности в точке D, пересекает катет ВС в точке М.

А) Докажите, что ВМ = СМ
Б) Прямая DM пересекает прямую АС в точке Р, прямая ОМ пересекает прямую ВР в точке К.

Найдите ВК : КР, если \cos \angle BAC = \frac{2\sqrt{5}}{5}.
Решение:

а) Так как OA=OD=R – радиус окружности, \angle OAD=\angle ODA = \alpha ,\; \triangle OAD – равнобедренный, так как OD \perp DM, \; \angle ODM = 90^\circ (касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания), тогда \angle BDM = 180^\circ - 90^\circ - \alpha = \angle ABC;

\triangle BDM равнобедренный, \angle DBM = \angle BDM = \beta = 90^\circ - \alpha .

\angle CDM – угол между касательной и хордой, \displaystyle \angle CDM = \frac{1}{2} \breve{CD} = \angle CAD = \alpha .

Тогда \angle CDM +\angle BDM = \alpha +\beta=90^\circ ,\; CD \perp AB, т.е. CD – высота \triangle ABC, \; \triangle CBD – прямоугольный, \angle DCB = 90^\circ - \beta = \alpha, \; \triangle CDM – равнобедренный, CM = DM, отсюда CM = BM.

б)

Найдем BK : KP, если \displaystyle \cos \angle BAC = \frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{2}{\sqrt{5}}, тогда \displaystyle \sin \angle BAC = \frac{1}{\sqrt{5}},

\displaystyle tg \angle BAC = tg \alpha = \frac{1}{2}.

OM – средняя линия

OM \parallel AB, \; \triangle ABC , \; OM \perp CD .

Значит, \angle OMC = \beta = \angle BMK ; (вертикальные), \triangle DBM - равнобедренный, \angle D =\angle B = \beta , тогда \angle DMB = 180^\circ - 2 \beta = \angle CMP , так как \angle CMP + \angle PKM \ne \angle BMK = 180^ \circ , \angle PMK = 180^ \circ - 180^\circ +2\beta - \beta = \beta, MK – биссектриса \angle PMP , \angle PMK = \angle BMK = \beta .

Из \triangle PMK по свойству биссектрисы BK : KP = BM : PM;

Пусть BC=a, тогда AC = 2a (т.к. \displaystyle tg \alpha = \frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}), BM=\frac{a}{2}.

\displaystyle OD = a = \frac{AC}{2}, в \triangle ODP \angle POD = 2 \alpha (внешний угол \triangle AOB),

\frac{PD}{OD}=tg2\alpha;

\displaystyle tg 2 \alpha = \frac{2tg \alpha}{1-tg^2 \alpha} = \frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3},

\displaystyle PD = \frac{4}{3}OD=\frac{4}{3}a;

\displaystyle PM=PD-DM=\frac{4}{3}a-\frac{a}{2}=\frac{5a}{6};

\displaystyle \frac{BK}{KP}=\frac{BM}{PM}=\frac{a\cdot 6}{2\cdot 5a} = \frac{3}{5}

Ответ: 3:5