previous arrow
next arrow
Slider

Задача 17 ЕГЭ-2021, Резервный день

15 декабря 2024 года планируется взять кредит в банке на 31 месяц. Условия его возврата таковы:
‐ 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
‐ с 2‐го по 14‐е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
‐ 15‐го числа каждого месяца с 1‐го по 30‐й (с января 2025 года по июнь 2027 года включительно)
долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15‐е число предыдущего месяца;
‐ 15 июня 2027 года долг составит 100 тысяч рублей;
‐ 15 июля 2027 года кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 555 тысяч рублей?

Решение:

Обозначим S - сумму кредита, n = 31 месяц, p = 2%, \displaystyle k=1+\frac{p}{100}=1,02; x - сумма, на которую уменьшается долг с 1-го и по 30-й месяц; составим схему погашения кредита.

Общая сумма выплат B = 555 тыс. рублей.

Выплаты:

z_1 = Sk-(S-x)

z_2 = k(S-x)-(S-2x)

\vdots

z_{30}=k(S-30x)

Общая сумма выплат:

B=z_1+z_2+...+z_{31}=k(S+S-x+...+S-30x)-(S-x+S-2x+...+S-30x)=

=k(31S-x(1+2+...+30))-(30S-x(1+2+...+30))

Найдем сумму арифметической прогрессии.

\displaystyle 1+2+3+...+30=\frac{1+30}{2}\cdot 30 = 31\cdot 15 = 465;

B=k(31S-465x)-30S+465x=S(31k-30)-465x(k-1)=

=S(k+30(k-1))-465x(k-1);

k-1=0,02; \; k=1,02

B=S(1,02+30\cdot 0,02)-465x\cdot 0,02=S(1,02+0,6)-9,3x.

По условию, \displaystyle S-30x=100 \Rightarrow x=\frac{S-100}{30};

\displaystyle B=1,62S-\frac{9,3}{30}\cdot (S-100)=1,62S-0,31(S-100)=

=1,62S-0,31S+31=555

1,31S=524

S=524:1,31=400 тысяч рублей.