Найти все значения параметра \(a,\) при каждом из которых уравнение
\(\left | a-2 \right |x^4-2ax^2+\left | a-12 \right |=0\)
имеет хотя бы два различных корня.
Решение:
\(\left | a-2 \right |x^4-2ax^2+\left | a-12 \right |=0\)
Замена: \(x^2=t, \; t \geq 0.\)
Исходное уравнение имеет хотя бы два различных корня, если уравнение
\(\left | a-2 \right |t^2-2at+\left | a-12 \right |=0\)
имеет хотя бы один корень \(t \geq 0.\)
Если t = 0, то x = 0, тогда \(\left | a-12 \right |=0, \;a=12.\)
Этот случай рассмотрим отдельно.
1) Случай \(t \textgreater 0,\) уравнение
\(\left | a-2 \right |t^2-2at+\left | a-12 \right |=0\) должно иметь хотя бы один положительный корень.
Если \(\left | a-2 \right |=0, \; a=2,\) уравнение линейное, тогда
\(-4t+\left | 2-12 \right |=0\)
\(4t=10, \; t=2,5 \textgreater 0; \; a=2\) – подходит.
Пусть \(\left | a-2 \right |\ne 0,\) уравнение квадратное.
\(\left | a-2 \right |t^2-2at+\left | a-12 \right |=0\)
сумма корней: \(\displaystyle t_1+t_2=\frac{2a}{\left | a-2 \right |}\)
произведение корней: \(\displaystyle t_1 t_2=\frac{\left | a-12 \right |}{\left | a-2 \right |} \geq 0\)
Если \(t_1 \textgreater 0,\) то \(t_2 \geq 0 .\)
Тогда \(t_1+t_2 \textgreater 0, \) т.к. \(\displaystyle \frac{2a}{\left | a-2 \right |} \textgreater 0, \; a\textgreater 0 .\)
При этом должно выполняться условие \(D \geq 0.\)
Получим:
\(\left\{\begin{matrix}
a \ne 2\\
a \textgreater 0\\
4a^2-4 \left | a-2 \right | \cdot \left | a-12 \right |\geq 0
\end{matrix}\right.\)
Решим третье неравенство системы:
\(a^2-\left | a-2 \right |\cdot \left | a-12 \right |\geq 0\)
\(a^2 \geq \left | a-12 \right |\cdot \left | a-2 \right |;\) возведем обе части в квадрат:
\(a^4 \geq \left ( a-12 \right ) ^2 \left ( a-2 \right )^2;\)
\(a^4 \geq \left ( a^2-14a+24 \right )^2;\)
\(\left ( a-a^2+14a-24 \right )\left ( a^2+a^2-14a+24 \right )\geq 0\)
\(\left ( 14a-24 \right )\left ( 2a^2-14a+24 \right )\geq 0\)
\(\left ( 7a-12 \right )\left ( a^2-7a+12 \right )\geq 0\)
\(\left ( 7a-12 \right )\left ( a-3 \right )\left ( a-4 \right )\geq 0\)
\(\left[\begin{array}{c}
\frac{12}{7}\leq a\leq 3
\\
a\geq 4
\end{array}\right.
,\) при этом \(a \ne 2,\) \(a \textgreater 0.\)
Объединив со случаем a = 2, получим:
\(\displaystyle a \in \left [ \frac{12}{7};3 \right ]\cup \left [4;+\infty \right )\)
Вернемся к случаю, когда \(t=0\) – корень уравнения. Тогда \(\left | a-12 \right |=0,\) \(a=12.\) Получим уравнение:
\(10t^2-24t=0,\)
\(5t^2-6t=0\)
\(t(5t-6)=0\) – уравнение имеет, кроме корня \(t=0,\) положительный корень \(\displaystyle t=\frac{6}{5},\) подходит \(a=12.\)
Ответ: \(\displaystyle a\in \left [ \frac{12}{7};3 \right ]\cup \left [ 4;+\infty \right )\)
