previous arrow
next arrow
Slider

Задача 18 ЕГЭ-2021, Резервный день

Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

\left | a-2 \right |x^4-2ax^2+\left | a-12 \right |=0

имеет хотя бы два различных корня.

Решение:

\left | a-2 \right |x^4-2ax^2+\left | a-12 \right |=0

Замена: x^2=t, \; t \geq 0.

Исходное уравнение имеет хотя бы два различных корня, если уравнение

\left | a-2 \right |t^2-2at+\left | a-12 \right |=0

имеет хотя бы один корень t \geq 0.

Если t = 0, то x = 0, тогда \left | a-12 \right |=0, \;a=12.

Этот случай рассмотрим отдельно.

1) Случай t \textgreater 0, уравнение

\left | a-2 \right |t^2-2at+\left | a-12 \right |=0 должно иметь хотя бы один положительный корень.

Если \left | a-2 \right |=0, \; a=2, уравнение линейное, тогда

-4t+\left | 2-12 \right |=0

4t=10, \; t=2,5 \textgreater 0; \; a=2 – подходит.

Пусть \left | a-2 \right |\ne 0, уравнение квадратное.

\left | a-2 \right |t^2-2at+\left | a-12 \right |=0

сумма корней: \displaystyle t_1+t_2=\frac{2a}{\left | a-2 \right |}

произведение корней: \displaystyle t_1 t_2=\frac{\left | a-12 \right |}{\left | a-2 \right |} \geq 0

Если t_1 \textgreater 0, то t_2 \geq 0 .

Тогда t_1+t_2 \textgreater 0, т.к. \displaystyle \frac{2a}{\left | a-2 \right |} \textgreater 0, \; a\textgreater 0 .

При этом должно выполняться условие D \geq 0.

Получим:

\left\{\begin{matrix}a \ne 2\\a \textgreater 0\\4a^2-4 \left | a-2 \right | \cdot \left | a-12 \right |\geq 0\end{matrix}\right.

Решим третье неравенство системы:

a^2-\left | a-2 \right |\cdot \left | a-12 \right |\geq 0

a^2 \geq \left | a-12 \right |\cdot \left | a-2 \right |; возведем обе части в квадрат:

a^4 \geq \left ( a-12 \right ) ^2 \left ( a-2 \right )^2;

a^4 \geq \left ( a^2-14a+24 \right )^2;

\left ( a-a^2+14a-24 \right )\left ( a^2+a^2-14a+24 \right )\geq 0

\left ( 14a-24 \right )\left ( 2a^2-14a+24 \right )\geq 0

\left ( 7a-12 \right )\left ( a^2-7a+12 \right )\geq 0

\left ( 7a-12 \right )\left ( a-3 \right )\left ( a-4 \right )\geq 0

\left[\begin{array}{c}\frac{12}{7}\leq a\leq 3\\a\geq 4\end{array}\right., при этом a \ne 2, a \textgreater 0.

Объединив со случаем a = 2, получим:

\displaystyle a \in \left [ \frac{12}{7};3 \right ]\cup \left [4;+\infty \right )

Вернемся к случаю, когда t=0 – корень уравнения. Тогда \left | a-12 \right |=0, a=12. Получим уравнение:

10t^2-24t=0,

5t^2-6t=0

t(5t-6)=0 – уравнение имеет, кроме корня t=0, положительный корень \displaystyle t=\frac{6}{5}, подходит a=12.

Ответ: \displaystyle a\in \left [ \frac{12}{7};3 \right ]\cup \left [ 4;+\infty \right )