Задача 18 ЕГЭ-2021, Резервный день

Найти все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

$\left | a-2 \right |x^4-2ax^2+\left | a-12 \right |=0$

имеет хотя бы два различных корня.

Решение:

$\left | a-2 \right |x^4-2ax^2+\left | a-12 \right |=0$

Замена: $x^2=t, \; t \geq 0.$

Исходное уравнение имеет хотя бы два различных корня, если уравнение

$\left | a-2 \right |t^2-2at+\left | a-12 \right |=0$

имеет хотя бы один корень $t \geq 0.$

Если t = 0, то x = 0, тогда $\left | a-12 \right |=0, \;a=12.$

Этот случай рассмотрим отдельно.

1) Случай $t \textgreater 0,$ уравнение

$\left | a-2 \right |t^2-2at+\left | a-12 \right |=0$ должно иметь хотя бы один положительный корень.

Если $\left | a-2 \right |=0, \; a=2,$ уравнение линейное, тогда

$-4t+\left | 2-12 \right |=0$

$4t=10, \; t=2,5 \textgreater 0; \; a=2$ – подходит.

Пусть $\left | a-2 \right |\ne 0,$ уравнение квадратное.

$\left | a-2 \right |t^2-2at+\left | a-12 \right |=0$

сумма корней: $\displaystyle t_1+t_2=\frac{2a}{\left | a-2 \right |}$

произведение корней: $\displaystyle t_1 t_2=\frac{\left | a-12 \right |}{\left | a-2 \right |} \geq 0$

Если $t_1 \textgreater 0,$ то $t_2 \geq 0 .$

Тогда $t_1+t_2 \textgreater 0,$ т.к. $\displaystyle \frac{2a}{\left | a-2 \right |} \textgreater 0, \; a\textgreater 0 .$

При этом должно выполняться условие $D \geq 0.$

Получим:

$\left\{\begin{matrix}a \ne 2\\a \textgreater 0\\4a^2-4 \left | a-2 \right | \cdot \left | a-12 \right |\geq 0\end{matrix}\right.$

Решим третье неравенство системы:

$a^2-\left | a-2 \right |\cdot \left | a-12 \right |\geq 0$

$a^2 \geq \left | a-12 \right |\cdot \left | a-2 \right |;$ возведем обе части в квадрат:

$a^4 \geq \left ( a-12 \right ) ^2 \left ( a-2 \right )^2;$

$a^4 \geq \left ( a^2-14a+24 \right )^2;$

$\left ( a-a^2+14a-24 \right )\left ( a^2+a^2-14a+24 \right )\geq 0$

$\left ( 14a-24 \right )\left ( 2a^2-14a+24 \right )\geq 0$

$\left ( 7a-12 \right )\left ( a^2-7a+12 \right )\geq 0$

$\left ( 7a-12 \right )\left ( a-3 \right )\left ( a-4 \right )\geq 0$

$\left[\begin{array}{c}\frac{12}{7}\leq a\leq 3\\a\geq 4\end{array}\right.,$ при этом $a \ne 2,$ $a \textgreater 0.$

Объединив со случаем a = 2, получим:

$\displaystyle a \in \left [ \frac{12}{7};3 \right ]\cup \left [4;+\infty \right )$

Вернемся к случаю, когда $t=0$ – корень уравнения. Тогда $\left | a-12 \right |=0,$ $a=12.$ Получим уравнение:

$10t^2-24t=0,$

$5t^2-6t=0$

$t(5t-6)=0$ – уравнение имеет, кроме корня $t=0,$ положительный корень $\displaystyle t=\frac{6}{5},$ подходит $a=12.$

Ответ: $\displaystyle a\in \left [ \frac{12}{7};3 \right ]\cup \left [ 4;+\infty \right )$

Это полезно