Задача 19 ЕГЭ-2021, Резервный день

Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из трехзначных натуральных
чисел, равен 128. Известно, что в прогрессии не меньше трех чисел.
А) Может ли число 686 являться членом такой прогрессии?
Б) Может ли число 496 являться членом такой прогрессии?
В) Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии?

Решение:

Геометрическая прогрессия, состоящая из трехзначных натуральных чисел, $b_1=128, \; n\geq 3.$

а) Да, может. Предположим, что 686 - член прогрессии, то есть $686=128\cdot q^{n-1}$

$128=2^7=2\cdot 2^6=2\cdot 4^3$

$686=2\cdot 343=2\cdot 7^3 ;$

если $686=128 \cdot q^{n-1}$ ,

$2\cdot 7^3 =2\cdot 4^3 \cdot q^{n-1} ,$

$7^3=4^3\cdot q^{n-1},$

$\displaystyle q^{n-1}=\left ( \frac{7}{4} \right )^3 ,$ $n=4$

$\displaystyle q=\frac{7}{4}$ .

$\displaystyle 686=128 \cdot ( \frac{7}{4} )^3 .$

б) Предположим, что 496 – член прогрессии.

$496=2\cdot 248=4\cdot 124=8 \cdot 62 = 16 \cdot 31 = 2^4 \cdot 31$

$2^4 \cdot 31 = 2^7 \cdot q^{n-1}$

$31=2^3 \cdot q^{n-1};$

$\displaystyle q^{n-1}=\frac{31}{8};$

31 - простое число, значит, n = 1 = 1, $\displaystyle q = \frac{31}{8}.$ Тогда $\displaystyle b_3=496 \cdot \frac{31}{8} = 1922$ – четырехзначое, противоречие с условием.

в) Найдем наибольшее число, которое может являться членом этой прогрессии.

1) Случай n = 3.

$b_1=128;$

Если $q=3,$ то $128 \cdot 3^2=128\cdot 9 =1152 \textgreater 999,$ значит, $q \textless 3.$

$b_1=128=2^7=2\cdot 2^6=2\cdot 8^2$

Если $q$ - дробь, то $\displaystyle q=\frac{a}{8},$

чтобы все члены прогрессии были натуральными числами.

Так как $\displaystyle q=3=\frac{24}{8}$ - не подходит, проверим $\displaystyle q=\frac{23}{8},$ тогда $\displaystyle b_3=128 \cdot \frac{23^2}{8^2}=1058$ – не подходит.