В 2021 году на ЕГЭ по математике «экономические» задачи №17 оказались однотипными. Не было оптимизации. Только кредиты, причем везде – схема с дифференцированными платежами. И кажется, что уже нечего придумать по этой теме – но составители заданий ЕГЭ постарались и придумали!
Подробно о том, какими бывают «экономические» задачи на ЕГЭ, читайте здесь.
Вообще-то было понятно, что в задаче 17 должно появиться что-то новое. Не принципиально новое, конечно, а какие-то вариации на тему дифференцированных платежей.
О том, что такое схема погашения кредита с дифференцированными платежами, читайте здесь.
Мы разберем 3 задачи реального ЕГЭ-2021, а потом мою авторскую задачу, предложенную в ЕГЭ-Студии накануне экзамена на Математических тренингах. Чем-то они похожи.
1. ЕГЭ-2021
В июле 2022 года планируется взять кредит на 600 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
- в январе 2023. 2024 и 2025 годов долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года:
- в январе 2026. 2027 и 2028 годов долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года:
- к июлю 2028 года долг должен быть полностью погашен.
Чему равно r, если общая сумма выплат составит 984 тыс. рублей?
Решение:
Составим схему погашения кредита.
Пусть \(k=1,2\) – коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления процентов в 2023, 2024 и 2025 годах,
\(\displaystyle q=1+\frac{r}{100}\) – аналогичный коэффициент для 2026, 2027, 2028 годов.
B = 984 тыс. руб. – общая сумма выплат. Сумма долга уменьшается равномерно, т.е. на \(\displaystyle \frac{1}{6}S.\)
Выплаты:
| Год | \(Z\) |
| 2023 | \(\displaystyle Z_1=Sk-\frac{5}{6}S\) |
| 2024 | \(\displaystyle Z_2=\frac{5}{6}Sk-\frac{4}{6}S\) |
| 2025 | \(\displaystyle Z_3=\frac{4}{6}Sk-\frac{3}{6}S\) |
| 2026 | \(\displaystyle Z_4=\frac{3}{6}Sq-\frac{2}{6}S\) |
| 2027 | \(\displaystyle Z_5=\frac{2}{6}Sq-\frac{1}{6}S\) |
| 2028 | \(\displaystyle Z_6=\frac{1}{6}Sq\) |
Общая сумма выплат:
\(\displaystyle B=Sk\left ( 1+\frac{5}{6}+\frac{4}{6} \right )-S\left ( \frac{5}{6}+\frac{4}{6}+\frac{3}{6} \right )+Sq\left ( \frac{3}{6}+\frac{2}{6}+\frac{1}{6} \right )-\)
\(\displaystyle - S\left ( \frac{2}{6} + \frac{1}{6}\right )=\frac{15}{6}Sk-\frac{S}{6}\left ( 1+2+3+4+5 \right )+Sq=\)
\(\displaystyle =\frac{15}{6}Sk-\frac{S\cdot 15}{6} + Sq=\)
\(\displaystyle =\frac{15S}{6}\left ( k-1 \right )+ Sq=\frac{15\cdot 600}{6}\cdot 0,2+Sq=\)
\(\displaystyle =15\cdot 100 \cdot 0,2+Sq=300+Sq=984;\)
\(Sq=684;\) \(\displaystyle q=\frac{684}{600}=1,14\)
\(q = 14 \%\)
2. Вторая задача похожа на первую.
В июле 2025 года планируется взять кредит на 600 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
- в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 13% по сравнению с концом предыдущего года;
- в январе 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 годов долг возрастает на 12% по сравнению с концом предыдущего года;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю 2035 года долг должен быть полностью погашен.
Чему равна сумма всех выплат?
Решение:
\(S=600\) тыс. рублей, \(n = 10\) лет, \(p_1 = 13 \%; \; k=1,13\) - коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличивается сумма долга в 2026-2030 годах.
\(p_2 = 12 \%; \; k=1,12\) - аналогичный коэффициент для 2031-2035 годов. Долг уменьшается равномерно, т.е. ежегодно на \(\frac{1}{10}S.\)
Составим схему погашения кредита:
Выплаты:
\(Z_1=kS-\frac{9}{10}S\)
\(Z_2=\frac{9}{10}kS-\frac{8}{10}S\)
\(Z_3=\frac{8}{10}kS-\frac{7}{10}S\)
\(...\)
\(Z_5=\frac{6}{10}kS-\frac{5}{10}S\)
\(Z_6=\frac{5}{10}qS-\frac{4}{10}S\)
\(...\)
\(Z_10=\frac{1}{10}qS\)
Общая сумма выплат:
\(B=z_1+z_2+...+z_{10}=kS\left ( 1+\frac{9}{10}+\frac{8}{10}+\frac{7}{10}+\frac{6}{10} \right )+\)
\(+qS\left ( \frac{5}{10} +\frac{4}{10}+\frac{3}{10} +\frac{2}{10}+\frac{1}{10} \right )-S\left ( \frac{9}{10}+\frac{8}{10}+...+\frac{1}{10} \right )=\)
\(=\frac{kS}{10}\left ( 6+7+8+9+10 \right )+\frac{qS}{10}\left ( 1+2+3+4+5 \right )-\)
\(-\frac{S}{10}\left ( 1+2+...+9 \right )=\frac{kS}{10}\cdot 40+\)
\(+\frac{qS}{10}\cdot 15 -\frac{S}{10}\cdot \frac{1+9}{2}\cdot 9=4kS+1,5qS-4,5S=\)
\(=S\left ( 4k+1,5q-4,5 \right )=S\cdot \left ( 4\cdot 1,13 +1,5 \cdot 1,12 -4,5 \right )=\)
\(=S\left ( 4,52 +1,68 -4,5 \right )=1,7S=1,7 \cdot 600 = 1020\) тыс. рублей.
Ответ: 1020 тыс. рублей.
3. Третья задача похожа на «Кошмар-2018». Вы знаете, как это было в 2018 году. Все знали, что «экономическая» задача – это халява. Многие абитуриенты рассчитывали решить Часть 1 и задания 13, 15 и 17 – и получить 80 баллов, а с ними поступать куда угодно. Это было бы удобно: без изучения планиметрии и стереометрии, без «параметров» и задач на числа и их свойства – в общем, почти без усилий.
И вот на экзамене – вместо элементарной задачки – появилась задача такого типа. Надежды абитуриентов на легкое поступление растаяли, как лед на июньском солнце.
Подробно о «Кошмаре-2018» здесь.
К 2021 году чудовище приручили, и теперь оно не кажется страшным. Вот точно такая же задача из ЕГЭ-2021. Ну и что?
В середине января 2026 года планируется взять кредит на 1200 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
- Первого числа каждого месяца кредит увеличивается на 1%.
- Со 2 по 15 числа каждого месяца, на протяжении следующих 30 месяцев, долг должен уменьшаться на одну и ту же величину но сравнению с предыдущим месяцем.
- На тридцать первый месяц, перед начислением процентов, остаток кредита будет составлять 300 тысяч, после чего он погашается одним платежом.
Чему равна общая сумма выплат?
Решение:
\(S=1200\) тыс. рублей
\(p=1\%;\; k=1+\frac{p}{100}=1,01\)
X – величина, на которую уменьшается сумма долга с первого по 30-й месяцы.
\(Y=300\) тыс. рублей – сумма долга на 31-й месяц.
Составим схему погашения кредита.
Ежемесячные выплаты:
\(z_1=Sk-\left(S-x\right)\)
\(z_2=\left(S-x\right)\cdot k-\left(S-2x\right)\)
\(\dots \)
\(z_{30}=\left(S-29x\right)\cdot k-\left(S-30x\right);\)
\(S-30x=Y;\)
\(30x=S-Y=1200-300=900\) тыс. рублей, \(x=30\) тыс. рублей.
Общая сумма выплат:
\(z_1+z_2+\dots +z_{30}+Y=B;\)
Найдём \(z_1+z_2+\dots +z_{30}=k\left(S+S-x+\dots +S-29x\right)-\left(S-x+S-2x+\dots +S-30x\right)=\)
\(=k\cdot \left(30S-X\left(1+2+\dots +29\right)\right)-\left(30S-x\left(1+2+\dots +30\right)\right)=\)
\(-k\cdot \left(30S-x\cdot 435\right)-30S+465x=30S\left(k-1\right)+x\left(465-435\cdot k\right)\)
Мы нашли суммы арифметических прогрессий:
\(1+2+3\dots +29=\frac{1+29}{2}\cdot 29=29\cdot 15=435,\)
\(1+2+3\dots +30=435+30=465.\)
\(30S\left(k-1\right)+x\left(465-435k\right)=30\cdot 1200\cdot 0,01+30\cdot \left(465-435\left(1+\frac{p}{100}\right)\right)=\)
\(=30\cdot 12+30\left(465-435-4,35\right)=30\left(12+30-4,35\right)=30\cdot 37,65=1129,5\) тыс. рублей
Общая сумма выплат:
\(B=1129,5+x=1129,5+300=1429,5\) тыс. рублей.
Ответ: 1429 500 рублей
А теперь – авторская задача Анны Малковой. Кто решил ее за день до ЕГЭ – тот на реальном экзамене знал, что делать.
4. В 2015 году Федор взял в кредит сумму S на 6 лет под 25% годовых, причем вначале банк начисляет проценты, затем Федор переводит в банк определенную сумму денег. По условиям кредита, в 2016, 2017, 2018 и 2019 годах после очередной выплаты сумма долга ежегодно уменьшается на 1/10 первоначальной величины, выплаты 2020 и 2021 годов равны. Всего Федор выплатил 250 тысяч рублей. Найдите S.
Решение:
Составим схему погашения кредита в 2016-2019 годах.
Первые 4 выплаты:
\(z_1=kS-0,9S\)
\(z_2=0,9kS-0,8S\)
\(z_3=0,8kS-0,7S\)
\(z_4=0,7kS-0,6S.\)
Сумма выплат за 4 года:
\(z_1+z_2+z_3+z_4=kS\left(1+0,9+0,8+0,7\right)-\)
\(-S\left(0,9+0,8+0,7+0,6\right)=kS\cdot 3,4-3S;\)
\(k=1+\frac{p}{100}=1,25=\frac{5}{4};\)
\(z_1+z_2+z_3+z_4=S\left(3,4\cdot \frac{5}{4}-3\right)=S\left(\frac{17}{4}-3\right)=\frac{5}{4}S.\)
Пусть выплаты 2020 и 2021 годов равны X;
\(\left(0,6kS-X\right)\cdot k-x=0;\)
\(0,6k^2S-x\left(k+1\right)=0;\)
\(x=\frac{0,6k^2S}{k+1}=\frac{3\cdot 4\cdot 25}{5\cdot 9\cdot 16}\cdot S=\frac{5}{12}S;\)
Выплаты за 2020 и 2021 годы: \(2x=\frac{5}{6}S;\)
Всего выплачено \(B=\left(\frac{5}{4}+\frac{5}{6}\right)S=\frac{5}{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)S=\frac{25}{12}S;\)
\(\frac{25}{12}S=250\) тыс. рублей,
\(S=120\) тыс. рублей.
5. (Резервный день) 15 декабря 2024 года планируется взять кредит в банке на 31 месяц. Условия его возврата таковы:
‐ 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
‐ с 2‐го по 14‐е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
‐ 15‐го числа каждого месяца с 1‐го по 30‐й (с января 2025 года по июнь 2027 года включительно)
долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15‐е число предыдущего месяца;
‐ 15 июня 2027 года долг составит 100 тысяч рублей;
‐ 15 июля 2027 года кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 555 тысяч рублей?
Решение:
Обозначим S - сумму кредита, n = 31 месяц, p = 2%, \(\displaystyle k=1+\frac{p}{100}=1,02;\) x - сумма, на которую уменьшается долг с 1-го и по 30-й месяц; составим схему погашения кредита.
Общая сумма выплат B = 555 тыс. рублей.
Выплаты:
\(z_1 = Sk-(S-x)\)
\(z_2 = k(S-x)-(S-2x)\)
\(\vdots\)
\(z_{30}=k(S-30x)\)
Общая сумма выплат:
\(B=z_1+z_2+...+z_{31}=k(S+S-x+...+S-30x)-(S-x+S-2x+...+S-30x)=\)
\(=k(31S-x(1+2+...+30))-(30S-x(1+2+...+30))\)
Найдем сумму арифметической прогрессии.
\(\displaystyle 1+2+3+...+30=\frac{1+30}{2}\cdot 30 = 31\cdot 15 = 465;\)
\(B=k(31S-465x)-30S+465x=S(31k-30)-465x(k-1)=\)
\(=S(k+30(k-1))-465x(k-1);\)
\(k-1=0,02; \; k=1,02\)
\(B=S(1,02+30\cdot 0,02)-465x\cdot 0,02=S(1,02+0,6)-9,3x.\)
По условию, \(\displaystyle S-30x=100 \Rightarrow x=\frac{S-100}{30};\)
\(\displaystyle B=1,62S-\frac{9,3}{30}\cdot (S-100)=1,62S-0,31(S-100)=\)
\(=1,62S-0,31S+31=555\)
\(1,31S=524\)
\(S=524:1,31=400\) тысяч рублей.
А вы готовы к таким задачам? Научиться их решать можно на нашем Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ на 100 баллов.
