Slider

Профильный ЕГЭ по математике. Задание № 17. Кредиты. Схема 2: известна информация об изменении суммы долга.

Задачи ЕГЭ №17 на кредиты обычно относятся к одному из двух характерных типов, которые легко различить между собой.

1 тип. Выплаты кредита производятся равными платежами. Эта схема еще называется «аннуитет»

2 тип. Выплаты кредита подбираются так, что сумма долга уменьшается равномерно. Это так называемая «схема с дифференцированными платежами».

К первому типу относятся также задачи, в которых есть информация о платежах.

Ко второму типу — задачи, в которых есть информация об изменении суммы долга.

 

В этой статье — решение задач на кредиты второго типа. Схема 2: с дифференцированными платежами. В условии есть информация об изменении суммы долга.

Если в условии задачи сказано, что сумма долга уменьшается равномерно, или что 15-го числа каждого месяца сумма долга на одну и ту же величину меньше суммы долга на 15-е число предыдущего месяца, или есть информация о том, как именно уменьшается сумма долга, — это задача на кредиты второго типа.

1. 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r\% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30\% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Ключевая фраза в условии: «15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца». Другими словами, сумма долга уменьшается равномерно. Что это значит?

Если вначале сумма долга равна S, то через месяц (после начисления процентов и первой выплаты) она уменьшилась до \frac{18}{19}S.Еще через месяц будет \frac{17}{19}S,затем \frac{16}{19}S — и так до нуля.

Пусть k=1+\frac{r}{100}

Нарисуем схему погашения кредита.

Первая строка в схеме — сумма долга после очередной выплаты.

Вторая строка — сумма долга после начисления процентов. Стрелками показано, как меняется сумма долга. Число платежных периодов n = 19.

Вот клиент берет в кредит сумму S. После начисления процентов сумма долга увеличилась в k раз и стала равна kS. После первой выплаты сумма долга уменьшилась на \frac{1}{19}S и стала равной \frac{18}{19}S. Банк снова начисляет проценты, и теперь сумма долга равна \frac{18}{19}kS. Таким образом, первая выплата

Z{}_{1}=S\cdot k-\frac{18}{19}S

Вторая выплата: Z_2=\frac{18}{19}kS-\frac{17}{19}S

\vdots

19-я выплата: Z_{19}=\frac{1}{19}kS

Сумма всех выплат:

Z=Z_1+Z_2+\cdots +Z_{19}=\cdots =

=\left(kS-\frac{18}{19}S\right)+\left(\frac{18}{19}kS-\frac{17}{19}S\right)+\cdots +\frac{1}{19}kS=

=kS\left(1+\frac{18}{19}+\frac{17}{19}+\cdots +\frac{1}{19}\right)-S\left(\frac{18}{19}+\frac{17}{19}+\cdots +\frac{1}{19}\right).

Мы сгруппировали слагаемые и вынесли общие множители за скобку. Видим, что и в первой, и во второй скобке — суммы арифметической прогрессии, у которой a_1=\frac{1}{19} и d=\frac{1}{19}.

В первой скобке — сумма 19 слагаемых, во второй сумма 18 слагаемых.

По формуле сумма арифметической прогрессии, S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.

\frac{1}{19}+\frac{2}{19}+\cdots +1=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{19}+\frac{19}{19}\right)\cdot 19=10;

\frac{1}{19}+\frac{2}{19}+\cdots +\frac{18}{19}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{19}+\frac{18}{19}\right)\cdot 18=9;

Получим, что общая сумма выплат Z=10kS-9S=10\left(1+\frac{p}{100}\right)S-9S=S+\frac{10p}{100}\cdot S=S+\Pi , где \Pi — величина переплаты. Эта величина показывает, на сколько общая сумма выплат больше суммы, взятой в кредит.

В нашей задаче

\Pi =\frac{10p}{100}\cdot S=\frac{n+1}{2}\cdot \frac{p}{100}\cdot S.

Здесь n=19 — количество платежных периодов.

Получим: \Pi =30\%S;

\frac{10p}{100}\cdot S=\frac{30}{100}S;

p=3.

Обратите внимание. Общая сумма выплат:

Z=S = S + \Pi, где \Pi — величина переплаты, \Pi=S\cdot \frac{n+1}{2}\cdot \frac{p}{100}.

В следующих задачах мы будем (если это возможно) применять удобную формулу для переплаты без вывода. Однако на экзамене вам надо будет ее вывести. Иначе решение могут не засчитать.

2. 15-го января планируется взять кредит в банке на некоторое количество месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3\% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

На сколько месяцев можно взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30\% больше суммы, взятой в кредит.

Пусть k=1+\frac{r}{100}.

По формуле для переплаты \Pi при выплате суммы кредита S дифференцированными платежами имеем:

\Pi=\frac{n+1}{200}rS

где n — искомое число месяцев, а r = 3 — величина платежной ставки в процентах. По условию, переплата \Pi равна 0,3S, тогда:

0,3S=\frac{n+1}{2}\cdot 0,03S

откуда n=19.

3. 15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.

Дата 15,01 15,02 15,03 15,04 15,05 15,06 15,07
Долг (в процентах от кредита) 100% 90% 80% 70% 60% 50% 0%

В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5\%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

В этой задаче (как и в большинстве задач ЕГЭ) мы не сможем применить формулу для величины переплаты. Ведь погашение кредита происходит неравномерно. Первые 5 месяцев долг ежемесячно уменьшается на \frac{1}{10} своей величины, а в последний месяц сразу до нуля.

Запишем, чему равна каждая выплата, и найдем сумму всех выплат.

Первая выплата: Z_1=kS-0,9S

Вторая: Z_2=0,9kS-0,8S

Следующие: Z_3=0,8kS-0,7S

Z_4=0,7kS-0,6S

Z_5=0,6kS-0,5S

Z_6=0,5kS.

Общая сумма выплат

Z=kS\left(1+0,9+0,8+0,7+0,6+0,5\right)-S(0,9+0,8+0,7+0,6+0,5)
Z=kS\cdot 4,5-S\cdot 3,5=S\cdot \left(1,05\cdot 4,5-3,5\right)=S\cdot \left(1\cdot 4,5+0,05\cdot 4,5-3,5\right)=\left(1+0,05\cdot 4,5\right)\cdot S

Z-S=S+4,5\cdot 0,05\cdot S-S=4,5\cdot 0,05S=45\cdot \frac{5}{1000}S=45\cdot \frac{5}{10}\cdot \frac{1}{100}S=22,5\cdot \frac{1}{100}S=22,5\%S

\Pi=Z-S

\Pi - переплаты, Z - общая сумма выплат, S - сумма кредита.

Ответ: 22,5\%

4. В июле 2016 года планируется взять кредит в размере 6,6 млн. руб. Условия возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на r\% по сравнению с концом предыдущего года.

- с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга.

- в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным 6,6 млн. руб.

- суммы выплат 2020 и 2021 годов равны.

Найдите r, если в 2021 году долг будет выплачен полностью и общие выплаты составят 12,6 млн. рублей.

S=6,6 млн.руб

Z=12,6 млн. руб

k=1+\frac{r}{100}

X - ежегодные выплаты 2020 и 2021 годов.

Z=3\left(kS-S\right)+2X=3S\left(k-1\right)+2X

\left(kS-X\right)\cdot k-X=0

k^2S-X\left(k+1\right)=0

X=\frac{k^2S}{k+1}

12,6=3\cdot 6,6\left(k-1\right)+\frac{2\cdot k^2\cdot 6,6}{k+1}

126=3\cdot 66\left(k-1\right)+\frac{2\cdot k^2\cdot 66}{k+1}

42=66\left(k-1\right)+\frac{44k^2}{k+1}

21\left(k+1\right)=33\left(k^2-1\right)+22k^2

21k+21=33k^2-33+22k^2

55k^2-21k-54=0

D={21}^2-4\cdot 55\cdot \left(-54\right)=12321={111}^2 , \Longrightarrow k=\frac{132}{110}=\frac{12}{10}=\frac{120}{100}\Longrightarrow r=20\%

Ответ: 20\%

В 2018 году появились, пожалуй, самая сложная задачи ЕГЭ такого типа. Вот большая статья о том, что же все-таки было на ЕГЭ-2018:

Разбор задачи №17 («Банковская», или «Экономическая») на ЕГЭ по математике 2018 года.

Подведем итоги. Соберем всё, что узнали о решении задач на кредиты по второй схеме (с дифференцированными платежами) в небольшую таблицу:

Равномерное уменьшение суммы долга (схема с дифференцированными платежами). Применяется также, когда известно, как уменьшается сумма долга.
Пусть S – сумма кредита, n – количество платежных периодов,
p – процент по кредиту, начисляемый банком. Коэффициент k = 1+\frac{p}{100} показывает, во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления процентов.
Схема погашения кредита для n платежных периодов.

n – число платежных периодов.

1 выплата: Z_1=S\cdot k-S\cdot \frac{n-1}{n}

2 выплата: Z_2= S \cdot \frac{n-1}{n}\cdot k-S\cdot \frac{n-2}{n}

n-ная выплата: Z_n=S\cdot \frac{1}{n}\cdot k

Сумма всех выплат: Z = Z_1 + Z_2+...+ Z_n=

=S\cdot k\left (1+\frac{n-1}{n}+\frac{n-2}{n}+...+\frac{1}{n}\right )-S\left ( \frac{n-1}{n}+\frac{n-2}{n}+...+\frac{1}{n} \right ).

Применяем формулу суммы арифметической прогрессии. Общая сумма выплат:

Z= S\cdot k\cdot\frac{n+1}{2}-S\cdot\frac{n-1}{2}=S+S\cdot\frac{n+1}{2}\cdot \frac{p}{100}= S + \Pi,, где

\Pi – величина переплаты,

\Pi=S\cdot \frac{n+1}{2}\cdot \frac{p}{100}.

 

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

НОВЫЙ НАБОР 2020 ЕГЭ И ОГЭ

Типы подготовки:
Сказать спасибо
ege-tv

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.

Это пробная версия онлайн курса по профильной математике.

Вы получите доступ к 3 темам, которые помогут понять принцип обучения, работу платформы и оценить ведущую курса Анну Малкову.

Вы получите:

— 3 темы курса (из 50).
— Текстовый учебник с видеопримерами.
— Мастер-класс Анны Малковой.
— Тренажер для отработки задач.

Регистрируйтесь, это бесплатно!

Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных