previous arrow
next arrow
Slider

Профильный ЕГЭ по математике. Задание № 17. Кредиты. Схема 2: известна информация об изменении суммы долга.

Задачи ЕГЭ №17 на кредиты обычно относятся к одному из двух характерных типов, которые легко различить между собой.

1 тип. Выплаты кредита производятся равными платежами. Эта схема еще называется «аннуитет»

2 тип. Выплаты кредита подбираются так, что сумма долга уменьшается равномерно. Это так называемая «схема с дифференцированными платежами».

К первому типу относятся также задачи, в которых есть информация о платежах.

Ко второму типу — задачи, в которых есть информация об изменении суммы долга.

 

В этой статье — решение задач на кредиты второго типа. Схема 2: с дифференцированными платежами. В условии есть информация об изменении суммы долга.

Если в условии задачи сказано, что сумма долга уменьшается равномерно, или что 15-го числа каждого месяца сумма долга на одну и ту же величину меньше суммы долга на 15-е число предыдущего месяца, или есть информация о том, как именно уменьшается сумма долга, — это задача на кредиты второго типа.

1. 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r\% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30\% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Ключевая фраза в условии: «15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца». Другими словами, сумма долга уменьшается равномерно. Что это значит?

Если вначале сумма долга равна S, то через месяц (после начисления процентов и первой выплаты) она уменьшилась до \frac{18}{19}S.Еще через месяц будет \frac{17}{19}S,затем \frac{16}{19}S — и так до нуля.

Пусть k=1+\frac{r}{100}

Нарисуем схему погашения кредита.

Первая строка в схеме — сумма долга после очередной выплаты.

Вторая строка — сумма долга после начисления процентов. Стрелками показано, как меняется сумма долга. Число платежных периодов n = 19.

Вот клиент берет в кредит сумму S. После начисления процентов сумма долга увеличилась в k раз и стала равна kS. После первой выплаты сумма долга уменьшилась на \frac{1}{19}S и стала равной \frac{18}{19}S. Банк снова начисляет проценты, и теперь сумма долга равна \frac{18}{19}kS. Таким образом, первая выплата

Z{}_{1}=S\cdot k-\frac{18}{19}S

Вторая выплата: Z_2=\frac{18}{19}kS-\frac{17}{19}S

\vdots

19-я выплата: Z_{19}=\frac{1}{19}kS

Сумма всех выплат:

Z=Z_1+Z_2+\cdots +Z_{19}=\cdots =

=\left(kS-\frac{18}{19}S\right)+\left(\frac{18}{19}kS-\frac{17}{19}S\right)+\cdots +\frac{1}{19}kS=

=kS\left(1+\frac{18}{19}+\frac{17}{19}+\cdots +\frac{1}{19}\right)-S\left(\frac{18}{19}+\frac{17}{19}+\cdots +\frac{1}{19}\right).

Мы сгруппировали слагаемые и вынесли общие множители за скобку. Видим, что и в первой, и во второй скобке — суммы арифметической прогрессии, у которой a_1=\frac{1}{19} и d=\frac{1}{19}.

В первой скобке — сумма 19 слагаемых, во второй сумма 18 слагаемых.

По формуле сумма арифметической прогрессии, S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.

\frac{1}{19}+\frac{2}{19}+\cdots +1=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{19}+\frac{19}{19}\right)\cdot 19=10;

\frac{1}{19}+\frac{2}{19}+\cdots +\frac{18}{19}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{19}+\frac{18}{19}\right)\cdot 18=9;

Получим, что общая сумма выплат Z=10kS-9S=10\left(1+\frac{p}{100}\right)S-9S=S+\frac{10p}{100}\cdot S=S+\Pi , где \Pi — величина переплаты. Эта величина показывает, на сколько общая сумма выплат больше суммы, взятой в кредит.

В нашей задаче

\Pi =\frac{10p}{100}\cdot S=\frac{n+1}{2}\cdot \frac{p}{100}\cdot S.

Здесь n=19 — количество платежных периодов.

Получим: \Pi =30\%S;

\frac{10p}{100}\cdot S=\frac{30}{100}S;

p=3.

Обратите внимание. Общая сумма выплат:

Z=S = S + \Pi, где \Pi — величина переплаты, \Pi=S\cdot \frac{n+1}{2}\cdot \frac{p}{100}.

В следующих задачах мы будем (если это возможно) применять удобную формулу для переплаты без вывода. Однако на экзамене вам надо будет ее вывести. Иначе решение могут не засчитать.

2. 15-го января планируется взять кредит в банке на некоторое количество месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3\% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

На сколько месяцев можно взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30\% больше суммы, взятой в кредит.

Пусть k=1+\frac{r}{100}.

По формуле для переплаты \Pi при выплате суммы кредита S дифференцированными платежами имеем:

\Pi=\frac{n+1}{200}rS

где n — искомое число месяцев, а r = 3 — величина платежной ставки в процентах. По условию, переплата \Pi равна 0,3S, тогда:

0,3S=\frac{n+1}{2}\cdot 0,03S

откуда n=19.

3. 15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.

Дата 15,01 15,02 15,03 15,04 15,05 15,06 15,07
Долг (в процентах от кредита) 100% 90% 80% 70% 60% 50% 0%

В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5\%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

В этой задаче (как и в большинстве задач ЕГЭ) мы не сможем применить формулу для величины переплаты. Ведь погашение кредита происходит неравномерно. Первые 5 месяцев долг ежемесячно уменьшается на \frac{1}{10} своей величины, а в последний месяц сразу до нуля.

Запишем, чему равна каждая выплата, и найдем сумму всех выплат.

Первая выплата: Z_1=kS-0,9S

Вторая: Z_2=0,9kS-0,8S

Следующие: Z_3=0,8kS-0,7S

Z_4=0,7kS-0,6S

Z_5=0,6kS-0,5S

Z_6=0,5kS.

Общая сумма выплат

Z=kS\left(1+0,9+0,8+0,7+0,6+0,5\right)-S(0,9+0,8+0,7+0,6+0,5)
Z=kS\cdot 4,5-S\cdot 3,5=S\cdot \left(1,05\cdot 4,5-3,5\right)=S\cdot \left(1\cdot 4,5+0,05\cdot 4,5-3,5\right)=\left(1+0,05\cdot 4,5\right)\cdot S

Z-S=S+4,5\cdot 0,05\cdot S-S=4,5\cdot 0,05S=45\cdot \frac{5}{1000}S=45\cdot \frac{5}{10}\cdot \frac{1}{100}S=22,5\cdot \frac{1}{100}S=22,5\%S

\Pi=Z-S

\Pi - переплаты, Z - общая сумма выплат, S - сумма кредита.

Ответ: 22,5\%

4. В июле 2016 года планируется взять кредит в размере 6,6 млн. руб. Условия возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на r\% по сравнению с концом предыдущего года.

- с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга.

- в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным 6,6 млн. руб.

- суммы выплат 2020 и 2021 годов равны.

Найдите r, если в 2021 году долг будет выплачен полностью и общие выплаты составят 12,6 млн. рублей.

S=6,6 млн.руб

Z=12,6 млн. руб

k=1+\frac{r}{100}

X - ежегодные выплаты 2020 и 2021 годов.

Z=3\left(kS-S\right)+2X=3S\left(k-1\right)+2X

\left(kS-X\right)\cdot k-X=0

k^2S-X\left(k+1\right)=0

X=\frac{k^2S}{k+1}

12,6=3\cdot 6,6\left(k-1\right)+\frac{2\cdot k^2\cdot 6,6}{k+1}

126=3\cdot 66\left(k-1\right)+\frac{2\cdot k^2\cdot 66}{k+1}

42=66\left(k-1\right)+\frac{44k^2}{k+1}

21\left(k+1\right)=33\left(k^2-1\right)+22k^2

21k+21=33k^2-33+22k^2

55k^2-21k-54=0

D={21}^2-4\cdot 55\cdot \left(-54\right)=12321={111}^2 , \Longrightarrow k=\frac{132}{110}=\frac{12}{10}=\frac{120}{100}\Longrightarrow r=20\%

Ответ: 20\%

В 2018 году появились, пожалуй, самая сложная задачи ЕГЭ такого типа. Вот большая статья о том, что же все-таки было на ЕГЭ-2018:

Разбор задачи №17 («Банковская», или «Экономическая») на ЕГЭ по математике 2018 года.

Подведем итоги. Соберем всё, что узнали о решении задач на кредиты по второй схеме (с дифференцированными платежами) в небольшую таблицу:

Равномерное уменьшение суммы долга (схема с дифференцированными платежами). Применяется также, когда известно, как уменьшается сумма долга.
Пусть S – сумма кредита, n – количество платежных периодов,
p – процент по кредиту, начисляемый банком. Коэффициент k = 1+\frac{p}{100} показывает, во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления процентов.
Схема погашения кредита для n платежных периодов.

n – число платежных периодов.

1 выплата: Z_1=S\cdot k-S\cdot \frac{n-1}{n}

2 выплата: Z_2= S \cdot \frac{n-1}{n}\cdot k-S\cdot \frac{n-2}{n}

n-ная выплата: Z_n=S\cdot \frac{1}{n}\cdot k

Сумма всех выплат: Z = Z_1 + Z_2+...+ Z_n=

=S\cdot k\left (1+\frac{n-1}{n}+\frac{n-2}{n}+...+\frac{1}{n}\right )-S\left ( \frac{n-1}{n}+\frac{n-2}{n}+...+\frac{1}{n} \right ).

Применяем формулу суммы арифметической прогрессии. Общая сумма выплат:

Z= S\cdot k\cdot\frac{n+1}{2}-S\cdot\frac{n-1}{2}=S+S\cdot\frac{n+1}{2}\cdot \frac{p}{100}= S + \Pi,, где

\Pi – величина переплаты,

\Pi=S\cdot \frac{n+1}{2}\cdot \frac{p}{100}.