Профильный ЕГЭ по математике. Задание № 15. Кредиты. Схема 2: известна информация об изменении суммы долга.

Задачи ЕГЭ №15 на кредиты обычно относятся к одному из двух характерных типов, которые легко различить между собой.

1 тип. Выплаты кредита производятся равными платежами. Эта схема еще называется «аннуитет»

2 тип. Выплаты кредита подбираются так, что сумма долга уменьшается равномерно. Это так называемая «схема с дифференцированными платежами».

К первому типу относятся также задачи, в которых есть информация о платежах.

Ко второму типу — задачи, в которых есть информация об изменении суммы долга.

В этой статье — решение задач на кредиты второго типа. Схема 2: с дифференцированными платежами. В условии есть информация об изменении суммы долга.

Если в условии задачи сказано, что сумма долга уменьшается равномерно, или что 15-го числа каждого месяца сумма долга на одну и ту же величину меньше суммы долга на 15-е число предыдущего месяца, или есть информация о том, как именно уменьшается сумма долга, — это задача на кредиты второго типа.

1. 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на $30\%$ больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Ключевая фраза в условии: «15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца». Другими словами, сумма долга уменьшается равномерно. Что это значит?

Если вначале сумма долга равна S, то через месяц (после начисления процентов и первой выплаты) она уменьшилась до $\frac{18}{19}S$ .Еще через месяц будет $\frac{17}{19}S$ ,затем $\frac{16}{19}S$ — и так до нуля.

Пусть $k=1+\frac{r}{100}$

Нарисуем схему погашения кредита.

Первая строка в схеме — сумма долга после очередной выплаты.

Вторая строка — сумма долга после начисления процентов. Стрелками показано, как меняется сумма долга. Число платежных периодов n = 19.

Вот клиент берет в кредит сумму $S$ . После начисления процентов сумма долга увеличилась в $k$ раз и стала равна $kS$ . После первой выплаты сумма долга уменьшилась на $\frac{1}{19}S$ и стала равной $\frac{18}{19}S$ . Банк снова начисляет проценты, и теперь сумма долга равна $\frac{18}{19}kS$ . Таким образом, первая выплата

$Z{}_{1}=S\cdot k-\frac{18}{19}S$

Вторая выплата: $Z_2=\frac{18}{19}kS-\frac{17}{19}S$

$\vdots$

19-я выплата: $Z_{19}=\frac{1}{19}kS$

Сумма всех выплат:

$Z=Z_1+Z_2+\cdots +Z_{19}=\cdots =$

$=\left(kS-\frac{18}{19}S\right)+\left(\frac{18}{19}kS-\frac{17}{19}S\right)+\cdots +\frac{1}{19}kS=$

$=kS\left(1+\frac{18}{19}+\frac{17}{19}+\cdots +\frac{1}{19}\right)-S\left(\frac{18}{19}+\frac{17}{19}+\cdots +\frac{1}{19}\right).$

Мы сгруппировали слагаемые и вынесли общие множители за скобку. Видим, что и в первой, и во второй скобке — суммы арифметической прогрессии, у которой $a_1=\frac{1}{19}$ и $d=\frac{1}{19}.$

В первой скобке — сумма 19 слагаемых, во второй сумма 18 слагаемых.

По формуле сумма арифметической прогрессии, $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.$

$\frac{1}{19}+\frac{2}{19}+\cdots +1=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{19}+\frac{19}{19}\right)\cdot 19=10;$

$\frac{1}{19}+\frac{2}{19}+\cdots +\frac{18}{19}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{19}+\frac{18}{19}\right)\cdot 18=9;$

Получим, что общая сумма выплат $Z=10kS-9S=10\left(1+\frac{p}{100}\right)S-9S=S+\frac{10p}{100}\cdot S=S+\Pi$ , где $\Pi$ — величина переплаты. Эта величина показывает, на сколько общая сумма выплат больше суммы, взятой в кредит.

В нашей задаче

$\Pi =\frac{10p}{100}\cdot S=\frac{n+1}{2}\cdot \frac{p}{100}\cdot S.$

Здесь $n=19$ — количество платежных периодов.

Получим: $\Pi =30\%S;$

$\frac{10p}{100}\cdot S=\frac{30}{100}S;$

$p=3.$

Обратите внимание. Общая сумма выплат:

$Z=S = S + \Pi$ , где $\Pi$ — величина переплаты, $\Pi=S\cdot \frac{n+1}{2}\cdot \frac{p}{100}.$

В следующих задачах мы будем (если это возможно) применять удобную формулу для переплаты без вывода. Однако на экзамене вам надо будет ее вывести. Иначе решение могут не засчитать.

2. 15-го января планируется взять кредит в банке на некоторое количество месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $3\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

На сколько месяцев можно взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на $30\%$ больше суммы, взятой в кредит.

Пусть $k=1+\frac{r}{100}.$

По формуле для переплаты $\Pi$ при выплате суммы кредита $S$ дифференцированными платежами имеем:

$\Pi=\frac{n+1}{200}rS$

где $n$ — искомое число месяцев, а $r = 3$ — величина платежной ставки в процентах. По условию, переплата $\Pi$ равна $0,3S$ , тогда:

$0,3S=\frac{n+1}{2}\cdot 0,03S$

откуда $n=19.$

3. 15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.

Дата	15,01	15,02	15,03	15,04	15,05	15,06	15,07
Долг (в процентах от кредита)	100%	90%	80%	70%	60%	50%	0%

В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на $5\%$ , а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

В этой задаче (как и в большинстве задач ЕГЭ) мы не сможем применить формулу для величины переплаты. Ведь погашение кредита происходит неравномерно. Первые 5 месяцев долг ежемесячно уменьшается на $\frac{1}{10}$ своей величины, а в последний месяц сразу до нуля.

Запишем, чему равна каждая выплата, и найдем сумму всех выплат.

Первая выплата: $Z_1=kS-0,9S$

Вторая: $Z_2=0,9kS-0,8S$

Следующие: $Z_3=0,8kS-0,7S$

$Z_4=0,7kS-0,6S$

$Z_5=0,6kS-0,5S$

$Z_6=0,5kS.$

Общая сумма выплат

$Z=kS\left(1+0,9+0,8+0,7+0,6+0,5\right)-S(0,9+0,8+0,7+0,6+0,5)$
$Z=kS\cdot 4,5-S\cdot 3,5=S\cdot \left(1,05\cdot 4,5-3,5\right)=S\cdot \left(1\cdot 4,5+0,05\cdot 4,5-3,5\right)=\left(1+0,05\cdot 4,5\right)\cdot S$

$Z-S=S+4,5\cdot 0,05\cdot S-S=4,5\cdot 0,05S=45\cdot \frac{5}{1000}S=45\cdot \frac{5}{10}\cdot \frac{1}{100}S=22,5\cdot \frac{1}{100}S=22,5\%S$

$\Pi=Z-S$

$\Pi$ - переплаты, $Z$ - общая сумма выплат, $S$ - сумма кредита.

Ответ: $22,5\%$

4. В июле 2016 года планируется взять кредит в размере 6,6 млн. руб. Условия возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года.

- с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга.

- в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным 6,6 млн. руб.

- суммы выплат 2020 и 2021 годов равны.

Найдите r, если в 2021 году долг будет выплачен полностью и общие выплаты составят 12,6 млн. рублей.

$S=6,6$ млн.руб

$Z=12,6$ млн. руб

$k=1+\frac{r}{100}$

$X$ - ежегодные выплаты 2020 и 2021 годов.

$Z=3\left(kS-S\right)+2X=3S\left(k-1\right)+2X$

$\left(kS-X\right)\cdot k-X=0$

$k^2S-X\left(k+1\right)=0$

$X=\frac{k^2S}{k+1}$

$12,6=3\cdot 6,6\left(k-1\right)+\frac{2\cdot k^2\cdot 6,6}{k+1}$

$126=3\cdot 66\left(k-1\right)+\frac{2\cdot k^2\cdot 66}{k+1}$

$42=66\left(k-1\right)+\frac{44k^2}{k+1}$

$21\left(k+1\right)=33\left(k^2-1\right)+22k^2$

$21k+21=33k^2-33+22k^2$

$55k^2-21k-54=0$

$D={21}^2-4\cdot 55\cdot \left(-54\right)=12321={111}^2 , \Longrightarrow k=\frac{132}{110}=\frac{12}{10}=\frac{120}{100}\Longrightarrow r=20\%$

Ответ: $20\%$

В 2018 году появились, пожалуй, самая сложная задачи ЕГЭ такого типа. Вот большая статья о том, что же все-таки было на ЕГЭ-2018:

Разбор задачи №17 («Банковская», или «Экономическая») на ЕГЭ по математике 2018 года.

Подведем итоги. Соберем всё, что узнали о решении задач на кредиты по второй схеме (с дифференцированными платежами) в небольшую таблицу:

Равномерное уменьшение суммы долга (схема с дифференцированными платежами). Применяется также, когда известно, как уменьшается сумма долга.
Пусть $S$ – сумма кредита, $n$ – количество платежных периодов, $p$ – процент по кредиту, начисляемый банком. Коэффициент $k = 1+\frac{p}{100}$ показывает, во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления процентов.
Схема погашения кредита для $n$ платежных периодов. $n$ – число платежных периодов. 1 выплата: $Z_1=S\cdot k-S\cdot \frac{n-1}{n}$ 2 выплата: $Z_2= S \cdot \frac{n-1}{n}\cdot k-S\cdot \frac{n-2}{n}$ n-ная выплата: $Z_n=S\cdot \frac{1}{n}\cdot k$ Сумма всех выплат: $Z = Z_1 + Z_2+...+ Z_n=$ $=S\cdot k\left (1+\frac{n-1}{n}+\frac{n-2}{n}+...+\frac{1}{n}\right )-S\left ( \frac{n-1}{n}+\frac{n-2}{n}+...+\frac{1}{n} \right ).$ Применяем формулу суммы арифметической прогрессии. Общая сумма выплат: $Z= S\cdot k\cdot\frac{n+1}{2}-S\cdot\frac{n-1}{2}=S+S\cdot\frac{n+1}{2}\cdot \frac{p}{100}= S + \Pi,$ , где $\Pi$ – величина переплаты, $\Pi=S\cdot \frac{n+1}{2}\cdot \frac{p}{100}.$

Равномерное уменьшение суммы долга (схема с дифференцированными платежами). Применяется также, когда известно, как уменьшается сумма долга.

Пусть $S$ – сумма кредита, $n$ – количество платежных периодов,
$p$ – процент по кредиту, начисляемый банком. Коэффициент $k = 1+\frac{p}{100}$ показывает, во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления процентов.

Схема погашения кредита для $n$ платежных периодов.

$n$ – число платежных периодов.

1 выплата: $Z_1=S\cdot k-S\cdot \frac{n-1}{n}$

2 выплата: $Z_2= S \cdot \frac{n-1}{n}\cdot k-S\cdot \frac{n-2}{n}$

n-ная выплата: $Z_n=S\cdot \frac{1}{n}\cdot k$

Сумма всех выплат: $Z = Z_1 + Z_2+...+ Z_n=$

$=S\cdot k\left (1+\frac{n-1}{n}+\frac{n-2}{n}+...+\frac{1}{n}\right )-S\left ( \frac{n-1}{n}+\frac{n-2}{n}+...+\frac{1}{n} \right ).$

Применяем формулу суммы арифметической прогрессии. Общая сумма выплат:

$Z= S\cdot k\cdot\frac{n+1}{2}-S\cdot\frac{n-1}{2}=S+S\cdot\frac{n+1}{2}\cdot \frac{p}{100}= S + \Pi,$ , где

$\Pi$ – величина переплаты,

$\Pi=S\cdot \frac{n+1}{2}\cdot \frac{p}{100}.$

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Профильный ЕГЭ по математике. Задание № 15. Кредиты. Схема 2: известна информация об изменении суммы долга.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 07.06.2023

Профильный ЕГЭ по математике. Задание № 15. Кредиты. Схема 2: известна информация об изменении суммы долга.

Это полезно