previous arrow
next arrow
Slider

Комплексные числа на ЕГЭ-2022 по математике

Анна Малкова

Что такое комплексные числа

Все знают, что ЕГЭ-2022 по математике будет не таким, как раньше. Например, появится новая задача по теме «Комплексные числа». Но что же это такое?

Начнем с хорошо известных вам фактов.

Вспомним, что возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

Если положительное число возвести в квадрат — результат будет положительный.

Если отрицательное число возвести в квадрат — результат тоже положительный. «Минус на минус дает плюс», - это мы не раз слышали на уроках математики.

Например, уравнение x^2=4 имеет 2 решения: х = 2 и х = -2.

Число 2 называют арифметическим квадратным корнем из 4, то есть 2 = \sqrt{4}.

А можно ли какое-нибудь число возвести в квадрат, чтобы результат получился отрицательный? И если нет, то почему?

Ведь отрицательные числа ничем не хуже положительных. Баланс мобильного телефона может быть положительным или отрицательным. Температура может быть равна +5 градусов Цельсия, а может быть и минус 5 градусов. На числовой оси положительные и отрицательные числа расположены симметрично. Почему же из положительных чисел квадратный корень извлекать можно, из нуля тоже можно (он равен нулю), а из отрицательных нельзя?

А что, если — сказали однажды математики, - существует такое число, квадрат которого равен минус единице?

И называется это число мнимой единицей, а обозначается буквой i.

Вот какая необычная формула получилась:

i = \sqrt{-1}.

Получается, что уравнение x^2=-1 имеет 2 решения: i и минус i.

i = \sqrt{-1};

- i = -\sqrt{-1}

А уравнение x^2=-4 имеет решения - 2i и 2i.

Теперь нам не страшны квадратные уравнения, в которых дискриминант отрицателен.

Например, уравнение x^2-x+2=0

Его дискриминант равен 1 — 4 = - 3.

Его корни: x = 1 \pm \sqrt{-3} = 1\pm i\sqrt{3}.

Числа вида z=x+iy называются комплексными. При этом х называется действительной частью комплексного числа z, а у — его мнимой частью.

Записывается это так:

\begin{array}{c}x=Re\ z \\y=Im\ z \end{array}

Сокращения понятны тем, кто изучает английский: Re — Real, Im — Imaginary.

Помните, мы говорили о том, какие бывают числа?

Натуральные числа применяются для счета предметов. Множество натуральных чисел обозначается N.

Целые числа — это положительные, отрицательные и ноль. Например, 4, 78, -121, 0 — целые числа. Множество целых чисел Z содержит в себе множество натуральных.

Рациональные числа — те, которые можно записать в виде обыкновенной дроби вида р/q, где р — целое, q — натуральное. Например, \displaystyle \frac{2}{5};\; -\frac{1}{2};\; 4;\; \frac{8}{3} — числа рациональные. Мы проходили их в начальной и средней школе. Если рациональное число записать в виде десятичной дроби, она будет периодической, например, \displaystyle \frac{1}{3}=0,33333\dots Множество рациональных чисел обозначается Q и содержит в себе множество целых чисел.

В старших классах мы узнали об иррациональных числах — таких, как \pi ,\; e или \sqrt{2}. Их невозможно записать в виде обыкновенной дроби, а если выразить в виде десятичной — она будет бесконечной непериодической. И казалось, что мы знаем о числах всё. Все числа, какие только нам встречались, входили в множество действительных чисел R.

Когда мы пишем: x\in R\ — это значит, что число х действительное. Мы помним, что действительные числа можно изображать точками на числовой прямой, которую еще называют действительной осью.

А теперь оказывается, что R — это подмножество множества комплексных чисел С.

Действительные числа еще называют «вещественными». Они описывают наш вещественный мир. В самом деле, натуральные числа применяем для счета предметов. С дробями тоже понятно: половинка яблока или \displaystyle \frac{1}{6} пиццы. С отрицательными числами все знакомы: достаточно зимой посмотреть на градусник за окном. И даже иррациональные числа можно «увидеть»: например, длина окружности радиуса 1 или диагональ квадрата со стороной 1 являются иррациональными числами.

Но где же в мире — мнимые и комплексные числа? Неужели они нужны для описания того, что мы не можем потрогать или посчитать по пальцам?

Да, так и есть. Комплексные числа - удобный инструмент для построения математических моделей волн и колебаний. Электро- и радиотехника, теоретическая и квантовая физика — все они пользуются комплексными числами. Мир элементарных частиц живет по законам, описываемым функциями комплексных переменных. Так что продолжим их изучение.

Комплексная плоскость

Где же находятся мнимые числа, если на числовой прямой для них места нет?

Очень просто. Мнимые числа — на мнимой оси. А комплексные числа вида z=x+iy\ — на комплексной плоскости.

Каждому комплексному число z=x+iy соответствует точка на комплексной плоскости.

Расстояние от нуля до этой точки называется модулем комплексного числа:

\left|\overrightarrow{r}\right|=\left|z\right|.

Угол \varphi между направлением на эту точку и положительным направлением действительной оси называется аргументом комплексного числа: \varphi =Arg\ z

Аргумент комплексного числа определен с точностью до 2\ \pi k.

Аналогично в тригонометрии: каждая точка на единичной окружности соответствует бесконечному множеству углов, отличающихся на 2\ \pi k,\ где k — целое.

Arg\ z={arg z+2\ \pi k\ }. Здесь

{arg z\ } — главное значение аргумента

-\pi \le {arg z\ \le \pi .\ }

Иногда главное значение аргумента комплексного числа определяют на отрезке [0;2\pi ].

Если z=0, Arg\ z не определен.

Комплексное число можно записать как в алгебраической форме z=x+iy, так и в тригонометрической.

Поскольку x=r{\cos \varphi \ },\ y=r{\sin \varphi \ }, получим:

z=r\left({\cos \varphi \ }+i{\sin \varphi \ }\right). Это тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Здесь

r=\left|z\right|=\sqrt{x^2+y^2}

\displaystyle {\cos \varphi =\frac{x}{r}\ },\; {\sin \varphi =\frac{y}{r}\ }

При переходе от алгебраической формы записи к тригонометрической считаем, что \varphi ={arg z\ } принимает значения -\pi \textless {arg z\ }\le \pi .

Обратите внимание, что в записи z=x+iy\ число х — действительное.

Число iy — мнимое.

Задача 1. Запишите число

z=-1+i в тригонометрической форме.

Решение:

\displaystyle \left|z\right|=r=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+1^2}=\sqrt{2},{ \begin{array}{c}\ \\arg \end{array}z\ }=\varphi ,\ {\cos \varphi \ }=-\frac{1}{\sqrt{2}},\ {\sin \varphi =\frac{1}{\sqrt{2}}\ },\ \varphi =\frac{3\pi }{4}

Так как z=r\left({\cos \varphi \ }+i{\sin \varphi \ }\right).

\displaystyle z=\frac{\sqrt{2}}{2}\left({\cos \frac{3\pi }{4}\ }+\frac{i{\sin 3\pi \ }}{4}\right)

Как видим, для освоения темы «Комплексные числа» надо отлично знать тригонометрию.

Действия над комплексными числами

Два комплексных числа равны друг другу, если равны соответственно их действительные и мнимые части.

z_1=z_2 \Leftrightarrow \ \begin{array}{c}x_1=x_2 \\y_1=y_2 \end{array}

Сравнивать комплексные числа нельзя. Операции «больше» и «меньше» для комплексных чисел не определены.

Два комплексных числа, отличающиеся только знаком мнимой части, называются комплексно-сопряженными. Вот такие:

\begin{array}{c}z=x+iy \\z=x-iy \end{array}

Возьмем два комплексных числа:

z_1=x_1+iy_1 и z_2=x_2+iy_2 .

Определим для них операции сложения и вычитания.

Сложение:

z_1+z_2=\left(x_1+x_2\right)+i\left(y_1+y_2\right)

Похоже на правило сложение векторов, не правда ли?

Так же, как и для действительных чисел, z_1+z_2=z_2+z_1,\ то есть от перемены мест слагаемых сумма не меняется (коммутативность сложения). Также выполняется ассоциативность сложения, то есть

\left(z_1+z_2\right)+z_3=z_1+\left(z_2+z_3\right)

Еще одно важное свойство:

\left|z_1+z_2\right|\le \left|z_1\right|+\left|z_2\right|

Это знакомое нам неравенство треугольника.

Вычитание:

z_1-z_2=\left(x_1-x_2\right)+i\left(y_1-y_2\right)

\left|z_1-z_2\right|\ge \left|z_1\right|-\left|z_2\right|;

\left|z_1-z_2\right|=d — расстояние между точками z_1 и z_2.

Задача 2. Определите, какая фигура на комплексной плоскости является решением уравнения

\left|z-2i\right|=1 .

Решение:

Прочитаем это уравнение так же, как мы делали с обычными уравнениями с модулем. Расстояние от точки z до точки 2i равно 1. Это значит, что точки, соответствующие решениям данного уравнения, лежат на окружности с центром в точке z=2i радиусом 1.

Если сложение и вычитание комплексных чисел вопросов не вызывают, то для умножения правила не такие очевидные. Вот какой будет формула произведения комплексных чисел:

z=z_1z_2=\left(x_1x_2-y_1y_2\right)+i\left(x_1y_2+y_1x_2\right).

Например, подставив в эту формулу z_1{=z}_2=i,\ получим уже знакомое равенство: i^2=-1.

Умножение комплексных чисел обладает теми же свойствами, что и умножение действительных:

z_1z_2=z_2z_1

\left(z_1z_2\right)z_3=z_1\left(z_2z_3\right)

z_1\left(z_2+z_3\right)=z_1z_2+z_1z_3

Но если умножение комплексных чисел настолько сложно — что же делать с возведением в степень? Оказывается, что и умножение, и возведение комплексных чисел в степень удобнее выполнять, записывая числа в тригонометрической форме.

z_1z_2=r_1r_2\left({\cos \left(\varphi _1+\varphi _2\right)\ }+i{\sin \left(\varphi _1+\varphi _2\right)\ }\right)

Возведение в степень:

z^n={\left(r\left({\cos \varphi \ }+i{\sin \varphi \ }\right)\right)}^n=r^n\left({\cos n\varphi \ }+i{\sin n\varphi \ }\right)

Последнее равенство называется формула Муавра.

Задача 3.

Вычислите: {\left(1+\sqrt{3}i\right)}^9

Решение:

Для числа z=1+\sqrt{3}i

\displaystyle r=\sqrt{1^2+(\sqrt{3}})^2=2; \; \sin \varphi =\frac{\sqrt{3}}{2},\; \cos \varphi =\frac{1}{2},

\displaystyle \varphi =\frac{\pi }{3}

\displaystyle z=1+\sqrt{3}i=r\left({\cos \varphi \ }+i{\sin \varphi \ }\right)=2\left({\cos \frac{\pi }{3}\ }+{\sin \frac{\pi }{3}\ }\right)

\displaystyle {\left(1+\sqrt{3}i\right)}^9=2^9\left({\cos \frac{9\pi }{3}\ }+i{\sin \frac{9\pi }{3}\ }\right)=512\left({\cos 3\pi \ }+i{\sin 3\pi \ }\right)=-512.

Деление комплексных чисел определяем как действие, обратное умножению.

\displaystyle \frac{z_1}{z_2}=z, если z\cdot z_2=z_1

Пусть z_1=x_1+iy_1,

z_2=x_2+iy_2\ne 0,

z=x+iy

\left\{\ \begin{array}{c}x_1=xx_2-yy_2 \\y_1=xy_2+yx_2 \end{array}\right., отсюда

\displaystyle x=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x^2_2+y^2_2}; \; y=\frac{y_1x_2-x_1y_2}{x^2_2+y^2_2}

Сложные формулы, не правда ли? Попробуем применить.

Задача 4:

Намного удобнее выполнять деление комплексных чисел, записав их в тригонометрической форме:

Извлечение корней из комплексных чисел - еще интереснее. Во-первых, для извлечения корня n-ной степени из комплексного числа лучше всего записать его в тригонометрической форме.

Во-вторых, для любого z\ne 0 выражение \sqrt[n]{z} принимает ровно n различных значений.

Пусть \omega — корень n-ной степени из комплексного числа z; \omega =\sqrt[n]{z}

Тогда \omega ^n=z. Записав число z в тригонометрической форме, получим:

\displaystyle \omega =\sqrt[n]{r\left({\cos \varphi \ }+i{\sin \varphi \ }\right)}=\sqrt[n]{r}\left({\cos \frac{\varphi +2\pi k}{n}\ }+i{\sin \frac{\varphi +2\pi k}{n}\ }\right)

Обратите внимание — для корня n-ной степени получим n различных значений корня.

Задача 5:

Найдем

\omega =\sqrt[3]{i}

\displaystyle \sqrt[3]{i}=\sqrt[3]{1}\cdot \left({\cos \frac{\frac{\pi }{2}+2\pi k}{3}\ }+i{\sin \frac{\frac{\pi }{2}+2\pi k}{3}\ }\right)

k=0,\; 1,\; 2.

При \displaystyle k=0\ \; \; \omega _0=\frac{\sqrt{3}}{2}+i\cdot \frac{1}{2}

При \displaystyle k=1\ \; \; \ {\ \omega }_1=-\frac{\sqrt{3}}{2}+i\cdot \frac{1}{2}

При \displaystyle k=2 \; \; \omega _3={\cos \frac{3\pi }{2}\ }+i{\sin \frac{3\pi }{2}\ }=-i

Задача ЕГЭ-2022, Комплексные числа

Решим задачу из варианта ЕГЭ — 2022 по теме «Комплексные числа».

Задача 6

Про комплексное число z известно, что |z-4-7i|=|z+4-i|.

Найдите наименьшее значение \left|z\right|.

Решение:

Обозначим z=x+iy.

Пусть z_1=4+7i; \; \; z_2=4-i.

Известно, что

\left|z-4-7i\right|=\left|z+4-i\right|.

Получим:

\left|z-z_1\right|=\left|z+z_2\right|

\left|\left(x+iy\right)-\left(4+7i\right)\right|=\left|\left(x+iy\right)-\left(-4+i\right)\right|

1 способ.

Расстояния от точки, соответствующей числу z, до точек z_1 и z_2 должны быть равны. Отметим точки z_1 и z_2 на комплексной плоскости. Равноудаленными от точек z_1 и z_2 будут все точки, лежащие на серединном перпендикуляре к отрезку, соединяющему z_1 и z_2. По условию задачи, из этих точек надо выбрать такую, для которой |z| принимает наименьшее значение, то есть наименее удаленную от начала координат. Другими словами — найдем расстояние от начала координат до данной прямой.

Это показано на рисунке. Точка Н соответствует комплексному числу z, лежащему на прямой, все точки которой равноудалены от z_1 и z_2, при этом расстояние от 0 до z — наименьшее. Найдем это расстояние (равное ОН) из прямоугольного треугольника АОВ. Его катеты равны 3 и 4, гипотенуза равна 5. Записав площадь треугольника АОВ двумя способами, получим:

\displaystyle z=\frac{12}{5}=2,4

2 способ.

Вернемся к выражению

\left|\left(x+iy\right)-\left(4+7i\right)\right|=\left|\left(x+iy\right)-\left(-4+i\right)\right|

Запишем его в виде:

\left|\left(x-4\right)+i\left(y-7\right)\right|=\left|\left(x+4\right)+i\left(y-1\right)\right|

Мы получили, что модули двух комплексных чисел равны. Модуль комплексного числа равен \left|z\right|=\sqrt{x^2+y^2}. Возведя это выражение в квадрат, получим, что z^2=x^2+y^2. Значит, если равны модули двух комплексных чисел z_1=x_1+iy_1 и z_2=x_2+iy_2, то {x_1}^2+{y_1}^2={x_2}^2+{y_2}^2

В нашем случае:

x^2-8x+16+y^2-14y+49=x^2+8x+16+y^2-\underline{2y}+1

16x+12y-48=0

4x+3y-12=0. Выразим отсюда х;

\displaystyle x=\frac{12-3y}{4}=3-\frac{3}{4}y и найдем наименьшее значение выражения {z^2=x}^2+y^2.

\displaystyle x^2+y^2=y^2+{\left(3-\frac{3}{4}y\right)}^2=y^2+9-\frac{9}{2}y+\frac{9}{16}y^2=\frac{25}{16}y^2-\frac{9}{2}y+9

Мы получили функцию t(y). Обычную функцию от действительной переменной. Найдем наименьшее значение функции \displaystyle t(y)=\frac{25}{16}y^2-\frac{9}{2}y+9. Это квадратичная функция, ее график - парабола с ветвями вверх, и наименьшее значение достигается в вершине параболы.

\displaystyle y_0=\frac{9\cdot 16}{2\cdot 2\cdot 25}=\frac{36}{25}

\displaystyle t\left(y_0\right)=\frac{25}{16}\cdot \frac{{36}^2}{{25}^2}-\frac{9}{2}\cdot \frac{36}{25}+9=\frac{144}{25}={\left|z\right|}^2_{min}.

\displaystyle {\left|z\right|}_{min}=\frac{12}{5}=2,4

Еще несколько задач по теме «Комплексные числа»:

Задача 7.

Представьте в тригонометрической форме числа:

а) -16\sqrt{3}+16i;

б) 1 — \sqrt{3}i

Решение:

а) z=-16\sqrt{3}+16i

\displaystyle \left|z\right|=\sqrt{{16}^2\cdot 3+16^2}=\ 32, \; tg\ \varphi =-\frac{1}{\sqrt{3}},\; \varphi =\frac{5\pi }{6}.

\displaystyle z=32\left({\cos \frac{5\pi }{6}\ }+i{\sin \frac{5\pi }{6}\ }\right)

б) z=1-\sqrt{3\ }i

\displaystyle \left|z\right|=\sqrt{1+3}=\ 2, tg\ \varphi =-\sqrt{3}, \varphi =\frac{2\pi }{3}.

\displaystyle z=2\left({\cos \frac{2\pi }{3}\ }+i{\sin \frac{2\pi }{3}\ }\right)

Задача 8

Вычислить {\left(1+i\sqrt{3}\right)}^7+{\left(1-i\sqrt{3}\right)}^7.

\displaystyle \displaystyle {\left(1+i\sqrt{3}\right)}^7+{\left(1-i\sqrt{3}\right)}^7={\left(2\left({\cos \frac{\pi }{3}\ }+i{\sin \frac{\pi }{3}\ }\right)\right)}^7+{\left(2\left({\cos \left(-\frac{\pi }{3}+i{\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)\ }\right)\ }\right)\right)}^7=2^7\left({\cos \frac{7\pi }{3}\ }+i{\sin \frac{7\pi }{3}\ }\right)+2^2\left({\cos \left(-\frac{7\pi }{3}\right)+i{\sin \left(-\frac{7\pi }{3}\right)\ }\ }\right)=2^8\cdot {\cos \frac{\pi }{3}=2^7=128\ }.

Задача 9

Считая х и у действительными числами, решите уравнение:

\left(5+2i\right)x-\left(3-4i\right)y=2-i.

Решение:

\left(5+2i\right)x-\left(3-4i\right)y=2-i

\underline{5x}+2ix-\underline{3y}+4iy=2-i

\left(5x-3y\right)+i\left(2x+4y\right)=2-i

Пользуясь определением равенства комплексных чисел, получим:

\left\{\ \begin{array}{c}5x-3y=2 \\2x+4y=-1 \end{array}\right.

Умножим первое уравнение на 2, а второе на 5, и вычтем из второго уравнения первое.

\left\{\ \begin{array}{c}10x-6y=4 \\10x+20y=-5 \end{array}\right.

Получим, что 26y=-\ 9; \displaystyle y=-\frac{9}{26}, тогда \displaystyle x=\frac{25}{26}.

Задача 10.

Известно, что число \displaystyle \frac{72}{{\left(2\left({\sin \frac{\pi }{6}\ }+i{\cos \frac{\pi }{6}\ }\right)\right)}^3} является корнем уравнения

2x^3+15x^2+ax+171=0, где a\in R.

Найти а и решить уравнение при этом значении а.

Решение:

\displaystyle x_1=\frac{72}{(2{\left({\sin \frac{\pi }{6}\ }+i{\cos \frac{\pi }{6}\ }\right))}^3}=\frac{72}{8{\left({\cos \frac{\pi }{3}\ }+i{sin\ \frac{\pi }{3}\ }\right)}^3} =\frac{72}{8\left({\cos \pi +i{\sin \pi \ }\ }\right)}=-9.

По условию, x_1 — корень уравнения 2x^3+15x^2+ax+171. Подставив x=-9, получим a=-8.

Уравнение примет вид: 2x^3+15x^2-8x+171=0.

Так как x_1=-9\ — корень уравнения, разделим левую часть на х + 9. Получим:

\left(x+9\right)\left(2x^2-3x+19\right)=0

Найдем корни квадратного уравнения 2x^2-3x+19=0.

\displaystyle x_{2, 3}=\frac{3\pm \sqrt{9-152}}{4}=\frac{3\pm i\sqrt{143}}{4}.

Экспоненциальная форма записи комплексного числа

Хорошо, что в ЕГЭ по математике появились комплексные числа. Чтобы их освоить, надо отлично знать алгебру, геометрию и тригонометрию, потому что эта тема связана со многими областями математики.

Помните, например, тему «Элементарные функции и их графики»? Там мы говорили о 5 типах элементарных функций: степенных, показательных, логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических. И казалось, что у показательных и тригонометрических функций общего мало.

А теперь посмотрите, как выглядит экспоненциальная форма записи комплексного числа:

e^{i\varphi }={\cos \varphi \ }+i{\sin \varphi \ }

Формула носит имя Леонарда Эйлера — одного из величайших математиков в истории.

Здесь e^{i\varphi } — периодическая функция, период T=2\pi .

С помощью формулы Эйлера знакомые нам косинус и синус можно выразить через комплексные экспоненты:

\displaystyle {\cos \varphi =\frac{e^{i\varphi }+e^{-i\varphi }}{2}\ }

\displaystyle {\sin \varphi =\frac{e^{i\varphi }-e^{-i\varphi }}{2i}\ }

Если \varphi =\pi , мы получим самую красивую и удивительную формулу математики: e^{i\pi }=-1.

Она связывает две мировые константы, то есть числа e и \pi , знакомую нам обычную единицу и ту самую мнимую единицу i, с которой мы начали это первое знакомство с комплексными числами.

Задачи взяты из книги Д. Письменного «Конспект лекций по высшей математике» и Проекта ЕГЭ-2022 по математике Профильного уровня.