Часть 1. Задания с кратким ответом
1. Анна Малкова Когда в ноябре 2020 года курс доллара стал равен 77,5 рублей, Валентина Петровна решилась потратить S тысяч рублей на покупку долларов. На сколько процентов больше получилась бы сумма в долларах, если бы Валентина Петровна сделала это в январе 2020 года, когда курс доллара составлял 62 рубля?
2. На графике изображена зависимость крутящего момента автомобильного двигателя от числа его оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту. На оси ординат — крутящий момент в Н*м (Ньютонах на метр) Чтобы автомобиль начал движение, крутящий момент должен быть не менее 60 Н*м. Какое наименьшее число оборотов двигателя в минуту достаточно, чтобы автомобиль начал движение?
3. Анна Малкова Найдите площадь фигуры S, изображенной на клетчатой бумаге. В ответе запишите \(\displaystyle \frac{S} {\pi}\).
4. Анна Малкова Жил старик со своею старухой у самого синего моря. Старик ловил неводом рыбу, закидывая невод до тех пор, пока не поймает хотя бы одну. В результате многолетних наблюдений старик заметил, что вероятность поймать рыбу при первом закидывании невода равна 0,4, а при последующих 0,6. Сколько раз старику надо закинуть невод, чтобы вероятность поймать хотя бы одну рыбу была не менее 0,95?
5. Найдите корень уравнения \(9^{2+5x}=1,8 \cdot 5^{2+5x}\).
6. Найдите сторону ромба, если радиус вписанной в него окружности равен \( \sqrt {3}\), а больший из углов ромба равен 120 градусов.
7. На рисунке приведён график зависимости координаты тела x от времени t при его прямолинейном движении по оси Х.
Определите модуль скорости тела v в промежутке времени от 25 до 30 с. Ответ выразите в м/с.
8. Площадь основания ABCD пирамиды SABCD равна 6, высота равна 6. Через середину высоты параллельно основанию пирамиды проведено сечение, которое является основанием меньшей пирамиды с той же вершиной. Найдите объем меньшей пирамиды.
9. Найдите значение выражения:
\( \left( tg \alpha +ctg \alpha \right) ^{2}- \left( tg \alpha -ctg \alpha \right) ^{2} \)
10. Антон Акимов Дальность полета \( L \) мяча, брошенного под углом \( \alpha \left( 0 ^{\circ} \textless \alpha \textless 90 ^{\circ} \right) \) к горизонту, зависит от начальной скорости \( v_{0} \) и угла \( \alpha \) по закону \( L=0,1v_{0}^{2}\sin 2 \alpha \) , где \( L \) измеряется в метрах, а \( v_{0} \) в метрах в секунду. Определите, при каком максимальном значении \( \alpha \) дальность полета будет не меньше , если начальная скорость мяча составляет в секунду. Ответ дайте в градусах.
11. Анна Малкова Стоя на носу баржи «Анна Каренина», идущей против течения реки, капитан случайно уронил в воду свой паспорт. Документ не утонул, а поплыл по течению и был выловлен через 4 минуты матросом, находившимся на корме теплохода «Дубровский», который следовал за «Анной Карениной», причем расстояние от кормы «Анны Карениной» до носа «Дубровского» в момент падения паспорта было равно 725 метров.
Найдите длину баржи «Анна Каренина», если длина теплохода «Дубровский» 23 метра, а его скорость в неподвижной воде равна 12 км/ч. Ответ выразите в метрах.
12. Найдите точку максимума функции \( y= \left( 2x-3 \right) \cos x-2\sin x+5, \) принадлежащую промежутку \(\displaystyle \left( 0;\frac{ \pi }{2} \right) . \)
Часть 2. Задания с развернутым ответом
13. Решить уравнение \( \displaystyle \frac{8 \left( ctg x-tg x \right) }{ctg x+tg x}=2\cos 4x+5. \)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\displaystyle \left[ -4 \pi ; -\frac{5 \pi }{2} \right] \)
14. Анна Малкова
а) Докажите, что центр сферы, вписанной в правильную четырехугольную пирамиду SABCD, лежит на высоте пирамиды.
б) В правильной пирамиде SABCD ребро основания равно 10, высота равна 12. В каком отношении центр вписанной сферы делит высоту пирамиды?
15. Решите неравенство \( x^{2}\log _{125} \left( -x-2 \right) \geq \log _{5} \left( x^{2}+4x+4 \right) . \)
16. Анна Малкова
На сторонах прямоугольного треугольника АВС построены квадраты, лежащие вне треугольника.
Пусть Р и Q – центры квадратов, построенных на катетах АС и ВС, О – центр квадрата, построенного на гипотенузе.
а) Докажите, что ОС = PQ.
б) Катеты треугольника АВС равны 5 и 12. Пусть АН - высота треугольника АОС. Найдите площадь четырехугольника ВОНQ.
17. В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере S тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 30% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остается равным S тыс. рублей;
- выплаты в 2030 и 2031 годах равны по 338 тыс. рублей;
- к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат за пять лет.
18. Анна Малкова
Найдите все значения параметра q, при каждом из которых уравнение имеет ровно 2 решения на отрезке [0; 3]:
\( 4\sin \) \( \displaystyle \frac{2^{x}+qx-1}{2}\cos \frac{2^{x}-qx+1}{2}=3 \left( 1-qx-2^{x} \right) \)
19. Антон Акимов Василий Васильевич вспоминал, как в студенческие времена, взяв менее 100 рублей, пошёл гулять. Заходя в какой-нибудь магазин и имея при этом m рублей n копеек, он тратил n рублей m копеек.
а) Мог ли студент Вася посетить ровно два магазина?
б) Мог ли студент Вася посетить ровно три магазина?
в) Какое наибольшее число магазинов смог посетить Вася?
Скачать вариант в .pdf
