Вариант 5

Часть 1. Задания с кратким ответом

1. В фирме такси работают 54 водителя. Сколько выходных может иметь каждый водитель в месяц (30 дней), если ежедневно из 60 имеющихся у фирмы автомобилей 25% остаются в гараже для мелкого ремонта?

2. На графике показано изменение численности населения города Клин (Московская область) за последние 10 лет. Определите по графику, в каком году из указанного периода численность населения города Клин была наименьшей*.

3. Анна Малкова

В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота СН; точка М — середина катета АС. Найдите МН, если $BC = 7, BH = \frac{14}{\sqrt{5}}.$

4. Анна Малкова Два грузовика, работая совместно, вывозят снег с улицы Нижняя Подгорная, причем первый грузовик должен сделать три рейса с грузом снега, а второй - два. Вероятность застрять с грузом снега при подъеме в горку равна 0,2 для первого грузовика и 0,25 - для второго. С какой вероятностью грузовики вывезут снег с улицы Нижняя Подгорная, ни разу не застряв на горке?

5. Решите уравнение:

$2{{log}_x 27-3{{log}_{27} x\ }=1.\ }$
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из них.

6. К окружности с центром в точке О проведены касательная ТВ и секущая ТА, пересекающая окружность также в точке С, причем АС = 9, ТС = 7. Найдите радиус окружности.

7. Анна Малкова На рисунке изображен график ${y=f}$ - производной функции

у = f(x). В какой точке отрезка [1; 5] функция у = f(x) принимает наименьшее значение?

8. Найдите значение выражения:
$\displaystyle {{sin}^2 \alpha +{cos \left(\frac{ \pi }{3}- \alpha \right){cos \left(\frac{ \pi }{3}+ \alpha \right)\ }\ }\ }$

9. Найдите площадь поверхности S объемного тела, полученного при вращении данной фигуры вокруг вертикальной оси. В ответе запишите S/ $\pi$ .

10. Рейтинг интернет-магазина вычисляется по формуле

где — средняя оценка магазина покупателями (от 0 до 1), — оценка магазина экспертами (от 0 до 0,7) и $K$ — число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина «Бета», если число покупателей, оставивших отзыв о магазине, равно 20, их средняя оценка равна 0,65, а оценка экспертов равна 0,37.

11. Численность медведей в двух заповедниках в 2019 году составляла 220 особей. Через год обнаружили, что в первом заповеднике численность медведей возросла на 10%, а во втором на 20%. В результате общая численность медведей в двух заповедниках составила 250 особей. Сколько медведей было во втором заповеднике в 2019 году?

12. Найдите разность наибольшего и наименьшего значений функции $y=x^3-3x^2+3x+2$ на отрезке [-2; 2]

Часть 2. Задания с развернутым ответом

13. а) Решите уравнение: ${81}^{{{sin}^2 x\ }}+{81}^{{{cos}^2 x\ }}=30.$

б) Найдите все корни уравнения на отрезке [- $\pi$ ; 5 $\pi$ /4]

14. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S боковое ребро вдвое больше стороны основания.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SD и вершину С, делит апофему грани ASB в отношении 2:1, считая от вершины S.

б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SD и вершину С, делит ребро SF, считая от вершины S.

15. Решите неравенство:
$\displaystyle {{log}_5 x\ }+{{log}_x \frac{x}{3} \textless \frac{{{log}_5 x\left(2-{{log}_3 x\ }\right)\ }}{{{log}_3 x\ }}\ }.$

16. Из вершины С прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведена высота CH.

а) Докажите, что отношение площадей кругов, построенных на отрезках AH и BH соответственно как на диаметрах равно $tg^4\angle ABC.$

б) Пусть точка $O_{1}$ — центр окружности диаметра AH, вторично пересекающей отрезок AC в точке P, а точка $O_{2}$ — центр окружности с диаметром BH, вторично пересекающей отрезок BC в точке Q. Найдите площадь четырёхугольника $O_{1}$ $PQO_{2}$ , если АС = 22, ВС = 18.

17. Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят $t^2$ тыс. рублей в конце года $t\left(t=1,2,\ \dots \right).\$ В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в $1+r$ раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях r это возможно?

18. При каких значениях параметра а система
$\left\{ \begin{array}{c}{sin \left(2 \pi \sqrt{a^2-x^2}\right)=0,\ } \\2\cdot 3^{\left|ax\right|}+3^{2-\left|ax\right|}\le 19 \end{array}\right.$
имеет наибольшее число решений?

19. Длины сторон прямоугольника — натуральные числа, а его периметр равен 200. Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n — также натуральное число.

а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника?

б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника?

в) Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь прямоугольника, если дополнительно известно, что n $\textgreater$ 100.

*График с сайта gorodarus.ru

В варианте использованы задачи с сайта РешуЕГЭ, из сборников под редакцией И. В. Ященко, М. И. Сканави, Козко, Парфенова и Чирского, а также авторские задачи.

Скачать вариант в .pdf

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Вариант 5» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 02.10.2023

Вариант 5

Это полезно