Часть 1. Задания с кратким ответом
1. Расстояние между Москвой и Смоленском по железной дороге равно 415 км. На этом пути расположены города Можайск и Вязьма. Расстояние между Москвой и Можайском относится к расстоянию между Можайском и Вязьмой как 7 : 9, а расстояние между Можайском и Вязьмой составляет 27/35 расстояния между Вязьмой и Смоленском.
Найдите расстояние от Москвы до Можайска. Ответ выразите в километрах.
2. На рисунке показан график движения автомобиля по маршруту. На оси абсцисс откладывается время (в часах), на оси ординат — пройденный путь (в километрах). Найдите среднюю скорость движения автомобиля на данном маршруте. Ответ дайте в км/ч.
3. В равнобедренном треугольнике АВС боковые стороны АВ = АС = 25, основание ВС = 14. Найдите расстояние от точки В до стороны АС.
4. Анна Малкова Играя в снежки, Маша попадает в цель с вероятностью 0,8, а Наташа — с вероятностью 0,25. Маша и Наташа одновременно бросили снежки в Василия. С какой вероятностью в Василия попадет хотя бы один снежок?
5. Решите уравнение:
\(x^{{lg x\ }}=1000x^2.\)
В ответе запишите сумму корней.
6. Диагональ равнобедренной трапеции делит ее тупой угол пополам. Меньшее основание трапеции равно 3, периметр равен 42. Найдите площадь трапеции.
7. На рисунке изображен график функции y=f(x). Найдите значение выражения F(7)−F(1), где F(x) - одна из первообразных функции f(x).
8. Анна Малкова Снеговик собран из трех снежных шаров, поставленных друг на друга, причем их радиусы относятся как 5 : 3 : 2, а высота снеговика равна 1,5 метра. Найдите массу снеговика (в кг). Шары считать идеальными, число \(\pi \) принять равным 3,14, плотность снега - равной 400 кг/м³. Ответ округлить до целого числа килограммов, объемом морковки пренебречь.
9. Вычислите: \(\displaystyle 2-13{cos 2 \alpha \ }+\frac{1}{{sin 2 \alpha \ }}\), если \(tg\ \alpha =-5\)
10. При температуре \(0^\circ\)C рельс имеет длину \(l_{0}\)=10 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону \(l\left(t\right)=l_0(1+\alpha \cdot)\), где \(\alpha =1,2\cdot{10}^{-5}\) — коэффициент теплового расширения, \(\ t\)— температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.
11. Известно, что внутренние углы некоторого выпуклого многоугольника, наименьший угол которого равен 120 градусов, образуют арифметическую прогрессию с разностью 5 градусов. Определите число сторон этого многоугольника.
12. Найдите наибольшее значение функции \(y=\left(x^2-10x+10\right)e^{10-x}\) на отрезке \(\left[5;11\right]\).
Часть 2. Задания с развернутым ответом
13. Ольга Чемезова
а) Решите уравнение \(2{{log}_3 cos\ x\ }={{log}_3 ({sin}^2x+sinx)\ }\)
б) Найдите все корни уравнения на отрезке [-4\(\pi \); 0]
14. Анна Малкова
В правильном тетраэдре SABC точки М и N — центры граней SAC и SBС соответственно. а) Докажите, что плоскость, проходящая через точки А, М и N, делит ребро SC пополам.
б) Точка О — центр грани АВС. Найдите расстояние от точки О до плоскости АМN, если ребро тетраэдра равно \(\sqrt{3}.\)
15. Решите неравенство:
\(\displaystyle \frac{1}{{{log}_2 \left(x-1\right)\ }} \textless \frac{1}{{{log}_2 \sqrt{x+1}\ }}\)
16. Анна Малкова
а) Окружность с центром Р вписана в треугольник АВС. Биссектриса угла А пересекает окружность, описанную вокруг треугольника АВС, в точке М. Докажите, что треугольник СРМ — равнобедренный.
б) В треугольнике АВС угол С — прямой, АВ = 18. Биссектрисы углов А и В пересекают описанную окружность треугольника АВС в точках М и N соответственно. Найдите МN.
17. По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект целое число миллионов рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 20 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по 20 миллионов рублей в первый и второй годы, а также по 10 миллионов в третий и четвёртый годы. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором общая сумма средств вкладчика за два года станет больше 100 миллионов, а за четыре года станет больше 170 миллионов рублей.
18. Найдите все значения параметра \(a,\) при которых уравнение
\(25x^5+25\left(a-1\right)x^3-4(a-7)x=0\)
имеет ровно 5 различных решений, а сами решения, упорядоченные по возрастанию, образуют арифметическую прогрессию.
19. В роте два взвода, в первом взводе солдат меньше, чем во втором, но больше чем 50, а вместе солдат меньше чем 120. Командир знает, что роту можно построить по несколько человек в ряд так, что в каждом ряду будет одинаковое число солдат, большее 7, и при этом ни в каком ряду не будет солдат из двух разных взводов.
а) Сколько солдат в первом взводе и сколько во втором? Приведите хотя бы один пример.
б) Можно ли построить роту указанным способом по 11 солдат в одном ряду?
в) Сколько в роте может быть солдат?
В варианте использованы задачи с сайта РешуЕГЭ, из сборников под редакцией М. И. Сканави, Козко, Парфенова и Чирского, а также авторские задачи.
Скачать вариант в .pdf
