Часть 1. Задания с кратким ответом
1. Скорый поезд вышел из Москвы в Санкт-Петербург и шел без остановок со скоростью 60 километров в час. Другой поезд вышел ему навстречу из Санкт-Петербурга в Москву и тоже шел без остановок со скоростью 40 километров в час. На каком расстоянии будут эти поезда за 1 час до их встречи?
2. На диаграмме показано среднемесячное количество осадков в Санкт-Петербурге за каждый месяц (усредненные данные, собранные за последние три года).
Определите по диаграмме, сколько было месяцев, когда количество осадков превышало 10 мм.
3. На клетчатой бумаге с размером клетки \(1 \cdot 1\) изображен квадрат АВСD. Найдите площадь S вписанного в него круга. В ответ запишите \(\displaystyle \frac{S}{ \pi }.\)
4. Анна Малкова
Студентка Маша учится в МГУ. Если утром светит солнце, Маша посещает первую лекцию с вероятностью 0,7. Если в момент пробуждения Маши пасмурно, то с вероятностью 0,8 Маша снова засыпает и пропускает первую лекцию.
Утром 1 апреля вероятность солнечной погоды в Москве оценивается в 25%.
С какой вероятностью Маша будет присутствовать 1 апреля на первой лекции?
5. Решите уравнение \({{log}_2 \sqrt{{\left(1-x\right)}^2}=3\ }.\)
Если уравнение имеет несколько корней, в ответе запишите больший корень.
6. Анна Малкова
Точки D, Е, F лежат на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС так, что АD : BD = 2 : 1, FD || BC и DE || AC. Площадь четырехугольника CFDE равна 4. Найдите площадь треугольника АВС.
7. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_0.\) Найдите значение производной функции f(x) в точке \(x_0.\)
8. В правильной треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\) известно, что \(AB=\sqrt{3}AA_1.\) Найдите угол между прямыми \(AB_1\) и \(CC_1.\) Ответ дайте в градусах.
9. Ольга Чемезова
Вычислите:
\(\displaystyle 5^{\frac{1}{{{log}_{11} 5\ }}}+\left({{log}_7 16\ }-{{log}_7 2\ }\right)\cdot {{log}_2 7\ }\)
10. Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории, кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна \(\displaystyle P=m\left(\frac{v^2}{L}-g\right),\) где m — масса воды в килограммах, v — скорость движения ведёрка в м/с, L — длина верёвки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с²). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна 44,1 см? Ответ выразите в м/с.
11. От пристани А одновременно отправились вниз по течению катер и плот. Катер спустился вниз по течению на 96 км, затем повернул обратно и вернулся в А через 14 часов. Найдите скорость катера, если известно, что катер встретил плот на обратном пути на расстоянии 24 км от А. Ответ выразите в км/ч.
12. Найдите точку минимума функции \(\displaystyle y=-\frac{x}{x^2+676}.\)
Часть 2. Задания с развернутым ответом
13. Анна Малкова
\(\displaystyle 4{{sin}^2 \left(x-\frac{ \pi }{12}\right)+4{{cos}^2 \left(x+\frac{ \pi }{12}\right)+\sqrt{3}\ }=4\ }\)
а) Решить уравнение
б) Найти все корни уравнения на отрезке \(\left[3 \pi ;4 \pi \right].\)
14. Ирина Юдина Восьмигранник \({SABCDS}_{1 }\)(бипирамида) состоит из двух равных правильных четырехугольных пирамид с общим основанием ABCD, причем S и \({S}_{1}\) — нижняя и верхняя вершины соответственно.
Плоскость \( \alpha \) проходит через середины отрезков \(AS_1,\; CS\) и \(AB.\)
а) Докажите, что сечение бипирамиды плоскостью \( \alpha \) имеет более двух пар параллельных сторон.
б) Найдите площадь сечения, если \(SS_1=26,\) \(\ AD=5\sqrt{2}.\)
15. Решите неравенство:
\(\displaystyle {{log}_7 \left(\left(5^{-x^2}-5\right)\left(5^{-x^2+16}-1\right)\right)+{{log}_7 \frac{5^{-x^2}-5}{5^{-x^2+16}-1}\ } \textgreater {{log}_7 {\left(5^{13-x^2}-4\right)}^2.\ }\ }\)
16. Ирина Юдина Две окружности \( \omega_1\) и \( \omega_2\) радиуса 32 с центрами P и Q, пересекаясь, делят отрезок PQ на три равные части. а) Докажите, что центр О окружности \( \omega ,\) касающейся внутренним образом обеих окружностей и отрезка PQ, лежит на общей хорде окружностей \( \omega_1\) и \( \omega_2.\)
б) Найти радиус окружности \( \omega .\)
17. Анна Малкова 1 марта 2001 года Антон открыл в банке счет под 5% годовых, с условием начисления процентов в конце каждого года, и внес на этот счет 100 тысяч рублей.
Антон решил, что каждый год сумма на его счете должна увеличиваться на одну и ту же величину по сравнению с предыдущим годом, и неуклонно следовал этому правилу, причем в некоторые годы он добавлял деньги на счет после начисления процентов, а в некоторые — снимал со счета после начисления процентов.
В марте 2021 года перед очередным начислением процентов на счете Антона было ровно 300 тысяч рублей. Обозначим \(S_1\) — сумму, которую он за все эти годы дополнительно внес на счет, а \(S_2\) — сумму, которую он за все эти годы снял со счета. Найдите разницу между \(S_1\) и \(S_2.\)
18. Анна Малкова При каких значениях параметра \(b\) уравнение
\(x-1=(arcsin\ x\ +\ b)^2\)
имеет решения?
19. В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 4 письма, или 21 письмо, причём и тех и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили разное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Какое наибольшее количество девушек в такой группе?
Скачать вариант в .pdf
