Условие задачи
Найдите наибольшее значение функции \(y=12cosx+6\sqrt{3}\cdot x-2\sqrt{3}\pi +6\) на отрезке \(\left[0; \displaystyle \frac{\pi }{2}\right ].\)
Решение
Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка.
Возьмем производную функции \(y(x)\) и приравняем ее к нулю.
\(y'(x)=-12\sin x+6\sqrt{3},\)
\(y(x)=0,\)
\(\sin x=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}.\)
На отрезке \( \left [0; \displaystyle \frac{\pi }{2}\right ]\) решением этого уравнения является \(x= \displaystyle \frac{\pi }{3}\). Других точек, где производная равна нулю, на данном отрезке нет.
Посмотрим, как меняется знак производной при переходе через точку \(\displaystyle \frac{\pi }{3}.\)
Возьмем \(x=0.\)
Тогда \(y'(0)=6\sqrt{3}> 0.\)
Возьмем \(x= \displaystyle \frac{\pi }{2}.\) Получим: \(y' \left (\displaystyle \frac{\pi }{2}\right )=-12+6\sqrt{3}<0.\)
Значит, при переходе через точку \(x= \displaystyle \frac{\pi }{3}\) производная функции меняет знак с «плюса» на «минус», и \(x=\displaystyle \frac{\pi }{3}\) – точка максимума нашей функции.
Значение функции в этой точке равно 12. Это и есть наибольшее значение функции \(y(x)\) на отрезке \(\left [0; \displaystyle \frac{\pi }{3}\right ]. \)
Ответ:
12.
