Условие задачи
Авторская задача
а) Решите уравнение: \(5(1-tg^{2}x)+(12sin x-7)(1+tg^{2}x)=0.\)
б) Найдите все его решения на отрезке \([-2\pi; 0 ].\)
Решение
ОДЗ уравнения: \(\cos x\neq 0.\)
Поделим обе части уравнения на \(1+tg^{2} x\). Это выражение положительно всегда, когда \(\cos x\neq 0\), и на него можно делить.
\(5\cdot \displaystyle \frac{1-tg^{2}x}{1+tg^{2}x}+(12\sin x-7)=0.\)
Вспомним полезные формулы, которые носят название «Универсальная тригонометрическая замена»:
\(\sin 2x= \displaystyle \frac{2\textup{tg}x}{1+tg^{2}x};\)
\(\cos 2x=\displaystyle \frac{1-tg^{2}x}{1+tg^{2}x}.\)
Получим: \(5\cos 2x+12\sin x-7=0.\)
Используем формулу: \(cos2x=1-2 sin^{2}x;\)
\(5-10\sin ^{2}x+12\sin x-7=0;\)
\(5\sin ^{2}x-6\sin x+1=0.\)
\(\left[
\begin{gathered}
\sin x=1, \\
\sin x=\frac{1}{5}.
\end{gathered}
\right. \)
Серия решений, для которой \(\sin x=1\), не входит в ОДЗ. Ведь если \(\sin x=1,\) то \(\cos x=0.\) Остается серия решений \(\sin x=\displaystyle \frac{1}{5}.\)
Ответ в пункте (а): \(x=(-1)^n\arcsin \displaystyle \frac{1}{5}+\pi n, \; n\in Z.\)
б) Отберем корни на отрезке \([-2\pi; 0 ]:\)
Отметим на тригонометрическом круге точки, для которых \(\sin x=\displaystyle \frac{1}{5}.\)
Это \(x_1=\arcsin \displaystyle \frac{1}{5}+2\pi n \) и \(x_2=\pi -\arcsin \displaystyle \frac{1}{5}+2\pi n, \; n\in Z.\)
Наш отрезок начинается с точки \(-2\pi.\) Значит, ему принадлежат точки
\(x_1=\arcsin \displaystyle \frac{1}{5}-2\pi \) и \(x_2=-\pi -\arcsin \displaystyle \frac{1}{5}.\)
Ответ:
а) \(x=(-1)^n\arcsin \displaystyle \frac{1}{5}+\pi n, \ n\in Z.\)
б) \(x_1=\arcsin \displaystyle \frac{1}{5}-2\pi, \; x_2=-\pi -\arcsin \displaystyle \frac{1}{5}.\)
