previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 13, Вариант 2

Условие задачи

Авторская задача
а) Решите уравнение: 5(1-tg^{2}x)+(12sin x-7)(1+tg^{2}x)=0.

б) Найдите все его решения на отрезке [-2\pi; 0 ].

Решение

ОДЗ уравнения: \cos x\neq 0.

Поделим обе части уравнения на 1+tg^{2} x. Это выражение положительно всегда, когда \cos x\neq 0, и на него можно делить.

5\cdot \displaystyle \frac{1-tg^{2}x}{1+tg^{2}x}+(12\sin x-7)=0.

Вспомним полезные формулы, которые носят название «Универсальная тригонометрическая замена»:

\sin 2x= \displaystyle \frac{2\textup{tg}x}{1+tg^{2}x};

\cos 2x=\displaystyle \frac{1-tg^{2}x}{1+tg^{2}x}.

Получим:

5\cos 2x+12\sin x-7=0.

Используем формулу:

cos2x=1-2 sin^{2}x;

5-10\sin ^{2}x+12\sin x-7=0;

5\sin ^{2}x-6\sin x+1=0.

\left[       \begin{gathered}         \sin x=1 \\         \sin x=\frac{1}{5}       \end{gathered} \right. .

Серия решений, для которой \sin x=1, не входит в ОДЗ. Ведь если \sin x=1, то \cos x=0. Остается серия решений \sin x=\displaystyle \frac{1}{5}.
Ответ в пункте (а): x=(-1)^n\arcsin \frac{1}{5}+\pi n, n\in Z.

б) Отберем корни на отрезке [-2\pi; 0 ]:

Отметим на тригонометрическом круге точки, для которых \sin x=\displaystyle \frac{1}{5}.
Это x_1=\arcsin \frac{1}{5}+2\pi n и x_2=\pi -\arcsin \frac{1}{5}+2\pi n, n\in Z.
Наш отрезок начинается с точки -2\pi. Значит, ему принадлежат точки
x_1=\arcsin \displaystyle  \frac{1}{5}-2\pi и x_2=-\pi -\arcsin \displaystyle \frac{1}{5}.

Ответ:

а) x=(-1)^n\arcsin \frac{1}{5}+\pi n, \ n\in Z.

б) x_1=\arcsin \frac{1}{5}-2\pi.

x_2=-\pi -\arcsin \frac{1}{5}.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Решение. Задание 13, Вариант 2» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 14.09.2023