Решение. Задание 13, Вариант 2

Условие задачи

Авторская задача
а) Решите уравнение: $5(1-tg^{2}x)+(12sin x-7)(1+tg^{2}x)=0.$

б) Найдите все его решения на отрезке $[-2\pi; 0 ].$

Решение

ОДЗ уравнения: $\cos x\neq 0.$

Поделим обе части уравнения на $1+tg^{2} x$ . Это выражение положительно всегда, когда $\cos x\neq 0$ , и на него можно делить.

$5\cdot \displaystyle \frac{1-tg^{2}x}{1+tg^{2}x}+(12\sin x-7)=0.$

Вспомним полезные формулы, которые носят название «Универсальная тригонометрическая замена»:

$\sin 2x= \displaystyle \frac{2\textup{tg}x}{1+tg^{2}x};$

$\cos 2x=\displaystyle \frac{1-tg^{2}x}{1+tg^{2}x}.$

Получим:

$5\cos 2x+12\sin x-7=0.$

Используем формулу:

$cos2x=1-2 sin^{2}x;$

$5-10\sin ^{2}x+12\sin x-7=0;$

$5\sin ^{2}x-6\sin x+1=0.$

$\left[ \begin{gathered} \sin x=1 \\ \sin x=\frac{1}{5} \end{gathered} \right. .$

Серия решений, для которой $\sin x=1$ , не входит в ОДЗ. Ведь если $\sin x=1,$ то $\cos x=0.$ Остается серия решений $\sin x=\displaystyle \frac{1}{5}.$
Ответ в пункте (а): $x=(-1)^n\arcsin \frac{1}{5}+\pi n, n\in Z.$

б) Отберем корни на отрезке $[-2\pi; 0 ]:$

Отметим на тригонометрическом круге точки, для которых $\sin x=\displaystyle \frac{1}{5}.$
Это $x_1=\arcsin \frac{1}{5}+2\pi n$ и $x_2=\pi -\arcsin \frac{1}{5}+2\pi n, n\in Z.$
Наш отрезок начинается с точки $-2\pi.$ Значит, ему принадлежат точки
$x_1=\arcsin \displaystyle \frac{1}{5}-2\pi$ и $x_2=-\pi -\arcsin \displaystyle \frac{1}{5}.$