Решение. Задание 13, Вариант 3

Условие задачи

а) Решите уравнение $16cos^4 x-24cos^2 x+9=0$ .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2π;3π].

Решение

Сделаем замену: $cos^2 x=z; z\geq 0$ ,

$16z^2-24z+9=0$
Левая часть уравнения – полный квадрат.
$(4z-3)^2=0$ ;

Чтобы записать серии решений, отметим на тригонометрическом круге точки, где $cosx=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Видим, что ответ в пункте (а) можно записать в виде двух диаметральных пар:

б) Найдем решение на отрезке [2π;3π].

Этот отрезок соответствует половине тригонометрического круга, которая начинается с точки 2π.

Следовательно, на этом отрезке находятся точки $x=\frac{\pi }{6}+2\pi =\frac{13\pi }{6}$ и $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi =\frac{17\pi }{6}$ , принадлежащие нашим сериям решений.

Ответ:

a) $x=\pm \frac{\pi }{6}+\pi n,n\in z$

б) $\displaystyle \frac{13\pi }{6};\frac{17\pi }{6}$

Решение. Задание 13, Вариант 3

Это полезно