Условие задачи
а) Решите уравнение: \(2log_{3}^{2}(2cosx)-5log_{3}(2cosx)+2=0\).
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left [\pi ;\displaystyle \frac{5\pi }{2}\right ]\).
Решение
Сделаем замену: \(t=\log_{3}(2cos x).\)
Получим: \(2t^2-5t+2=0;\)
\(\left[\begin{matrix}
t=2,\\t=\displaystyle \frac{1}{2}.
\end{matrix}\right.\)
Если \(t=2,\) то \(t=\log_{3}(2cos x)=2;\)
\(2\cos x=9; \ \cos x= \displaystyle \frac{9}{2}\) – нет решений, т.к. \(\left| cosx\right|\leq 1.\)
Если \(t=\displaystyle \frac{1}{2}\), то \(\log_{3}(2cos x)=\displaystyle \frac{1}{2};\)
\(\cos x= \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}.\)
Тогдa \(x=-\displaystyle \frac{\pi }{6}+2\pi k \; \) или \(x=\displaystyle \frac{\pi }{6}+2\pi k, \ k\in z.\)
б) Отметим на тригонометрическом круге отрезок \(\left [\pi ;\displaystyle \frac{5\pi }{2}\right]\) и найденные серии решений.
Как выбрать корни, принадлежащие заданному промежутку?
Давайте используем их симметрию относительно точки \(2\pi .\)
Получим: \( x_1=\displaystyle \frac{\pi}{6}+2\pi =\frac{13\pi}{6}; \ x_2=2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}.\)
Ответ:
a) \(x=\pm \displaystyle \frac{\pi }{6}+2\pi k, \ k\in Z\)
б) \(\displaystyle \frac{13 \pi }{6}; \ \frac{11 \pi }{6} \)
