Решение. Задание 13, Вариант 4.

Условие задачи

Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([\pi ;\frac{5\pi }{2}]\).

Решение

Сделаем замену \(t=\log_{3}(2cos x)\).

Получим:
\(2t^2-5t+2=0\)

Если t=2, то \(t=\log_{3}(2cos x)=2\);

\(2\cos x=9\); \(\cos x= \frac{9}{2}\) - нет решений, т.к. |cos⁡x |≤1.

Если \(t= \frac{1}{2}\), то \(\log_{3}(2cos x)=\frac{1}{2}\);

\(\cos x= \frac{\sqrt{3}}{2}\);

тогдa \(x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k\)
или
\(x=\frac{\pi }{6}+2\pi k, k\in z\).

б) Отметим на тригонометрическом круге отрезок \([\pi ;\frac{5\pi }{2}]\) и найденные серии решений.

Как выбрать корни, принадлежащие заданному промежутку?

Давайте используем их симметрию относительно точки \(2\pi \)
Получим: \( x_1=\frac{\pi}{6}+2\pi =\frac{13\pi}{6};\ x_2=2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}\)

Ответ:

a) \(x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi k, k\in Z\)

б) \(\frac{13 \pi }{6}, \frac{11 \pi }{6} \)