previous arrow
next arrow
Slider
Центр подготовки к ЕГЭ > ru > ege > Подготовка > Математика > probnyj-ege > 2018 > fevral > Решение. Задание 13, Вариант 1 > Решение. Задание 13, Вариант 4.

Решение. Задание 13, Вариант 4.

Условие задачи

Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\pi ;\frac{5\pi }{2}].

Решение

Сделаем замену t=\log_{3}(2cos x).

Получим:
2t^2-5t+2=0

Если t=2, то t=\log_{3}(2cos x)=2;

2\cos x=9; \cos x= \frac{9}{2} - нет решений, т.к. |cos⁡x |≤1.

Если t= \frac{1}{2}, то \log_{3}(2cos x)=\frac{1}{2};

\cos x= \frac{\sqrt{3}}{2};

тогдa x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k
или
x=\frac{\pi }{6}+2\pi k, k\in z.

б) Отметим на тригонометрическом круге отрезок [\pi ;\frac{5\pi }{2}] и найденные серии решений.

Как выбрать корни, принадлежащие заданному промежутку?

Давайте используем их симметрию относительно точки 2\pi
Получим: x_1=\frac{\pi}{6}+2\pi =\frac{13\pi}{6};\ x_2=2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}

Ответ:

a) x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi k, k\in Z

б) \frac{13 \pi }{6}, \frac{11 \pi }{6}