Решение. Задание 13, Вариант 4.

Условие задачи

Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\pi ;\frac{5\pi }{2}]$ .

Решение

Сделаем замену $t=\log_{3}(2cos x)$ .

Получим:
$2t^2-5t+2=0$

Если t=2, то $t=\log_{3}(2cos x)=2$ ;

$2\cos x=9$ ; $\cos x= \frac{9}{2}$ - нет решений, т.к. |cos⁡x |≤1.

Если $t= \frac{1}{2}$ , то $\log_{3}(2cos x)=\frac{1}{2}$ ;

$\cos x= \frac{\sqrt{3}}{2}$ ;

тогдa $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$
или
$x=\frac{\pi }{6}+2\pi k, k\in z$ .

б) Отметим на тригонометрическом круге отрезок $[\pi ;\frac{5\pi }{2}]$ и найденные серии решений.

Как выбрать корни, принадлежащие заданному промежутку?

Давайте используем их симметрию относительно точки $2\pi$
Получим: $x_1=\frac{\pi}{6}+2\pi =\frac{13\pi}{6};\ x_2=2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}$

Ответ:

a) $x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi k, k\in Z$

б) $\frac{13 \pi }{6}, \frac{11 \pi }{6}$

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
+7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.