Условие задачи
Все ребра правильной треугольной призмы имеют длину 6. Точки M и N – середины ребер
и
соответственно.
а) Докажите, что прямые ВМ и MN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMN и АВ B1.
Решение
а) Покажем, что ∠BMN=90°.
Пусть точка Р – середина АС.
В плоскости BNP проведем отрезок BN.
Рассмотрим треугольник BMN, из которого можно найти угол BMN.
Сначала найдём MN, BM и BN – стороны этого треугольника.
∆ABC правильный, ВР – его высота,
Из :
Из :
поскольку
Из :
Для треугольника BMN выполняется теорема Пифагора: Значит, он прямоугольный.
б) Найдем угол между плоскостями
и
Угол между плоскостями – это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях.
Плоскости и
пересекаются по прямой ВМ, причем в пункте (а) мы доказали, что MN ⊥ BM. В плоскости
построим FM ⊥ BM.
Заметим, что ,
, значит,
.
Отрезок NF равен половине высоты правильного треугольника ,
,
Кроме того, отрезок NF лежит в плоскости верхнего основания призмы, которая перпендикулярна боковому ребру .
Значит, .
Поскольку NF перпендикулярен двум пересекающимся прямым и
, лежащим в плоскости
, получим:
.
Тогда NF⊥FM; ∆NFM – прямоугольный,
Ответ:
б)
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Решение. Задание 14, Вариант 2» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 08.09.2023