Решение. Задание 14, Вариант 2

Условие задачи

Все ребра правильной треугольной призмы $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ имеют длину 6. Точки M и N – середины ребер $A A_{1}$ и $A_{1} C_{1}$ соответственно.
а) Докажите, что прямые ВМ и MN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMN и АВ B1.

Решение

а) Покажем, что ∠BMN=90°.

Пусть точка Р – середина АС.

В плоскости BNP проведем отрезок BN.

Рассмотрим треугольник BMN, из которого можно найти угол BMN.

Сначала найдём MN, BM и BN – стороны этого треугольника.

∆ABC правильный, ВР – его высота, $BP=\displaystyle \frac{6\sqrt{3}}{2}.$

Из $\Delta BPN$ : $BN^2=BP^2+NP^2=\displaystyle \frac{36\cdot 3}{4}+36=36\cdot \displaystyle \frac{7}{4}=63.$

Из $\Delta A_{1}MN$ : $MN^2=A_{1}M^2+A_{1}N^2=18,$

поскольку $A_{1}M=NA_{1}=3.$

Из $\Delta ABM$ : $BM^2=AB^2+AM^2=36+9=45.$

Для треугольника BMN выполняется теорема Пифагора: $BN^{2}= MN^{2}+BM^{2}.$ Значит, он прямоугольный.

б) Найдем угол $\varphi$ между плоскостями $BMN$ и $ABB_{1}.$

Угол между плоскостями – это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях.

Плоскости $BMN$ и $ABB_{1}$ пересекаются по прямой ВМ, причем в пункте (а) мы доказали, что MN ⊥ BM. В плоскости $ABB_{1}$ построим FM ⊥ BM.

Заметим, что $\Delta ABM\sim A_{1}MF$ ,

$\displaystyle \frac{A_{1}F}{AM}=\displaystyle \frac{AM}{AB}$ , значит, $A_{1}F= \frac{1}{4} A_{1} B_{1}$ .

Отрезок NF равен половине высоты правильного треугольника $A_{1}B_{1}C_{1}$ , $NF=\frac{1}{2}\cdot \frac{6\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ ,

$NF\perp A_{1}B_{1}.$

Кроме того, отрезок NF лежит в плоскости верхнего основания призмы, которая перпендикулярна боковому ребру $AA_{1}$ .

Значит, $NF\perp AA_{1}$ .

Поскольку NF перпендикулярен двум пересекающимся прямым $AA_{1}$ и $BA_{1}$ , лежащим в плоскости $AA_{1}B_{1}$ , получим: $NF\perp AA_{1}B_{1}$ .

Тогда NF⊥FM; ∆NFM – прямоугольный,

$sin\varphi =\displaystyle \frac{NF}{MN}=\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2\cdot 3\sqrt{2}}=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\sqrt{\displaystyle \frac{3}{8}};$
$\varphi =\arcsin \sqrt{\displaystyle \frac{3}{8}}.$

Ответ:

б) $\varphi =\arcsin \sqrt{\frac{3}{8}}.$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Решение. Задание 14, Вариант 2» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 08.09.2023

Решение. Задание 14, Вариант 2

Это полезно