Условие задачи
В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны 8, точка K ― середина бокового ребра AP.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной прямым PB и BC.
б) Найдите площадь сечения.
Решение
Пусть точка М – середина АВ. Тогда КМ ∥ РВ как средняя линия ∆AРВ.
Пусть точка N – середина PD. Поскольку КN – средняя линия ∆AРD, KN ∥ AD, и тогда KN ∥ BC.
Построим сечение пирамиды плоскостью KMN. Пусть плоскости КМN и АВС пересекаются по прямой МЕ. Покажем, что ME∥AD.
По теореме о прямой и параллельной ей плоскости,
Это значит,что ME∥AD. Прямая МЕ содержит точку О,являющуюся проекцией вершины Р на плоскость АВС. Трапеция KNEM-искомое сечение.
б) Найдём площадь сечения.
,где h-высота трапеции KNEM.
Пусть H - середина KN,
OH⊥KN.
,
KN=4,тогда ,
Ответ:
б)