previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 14, Вариант 3

Условие задачи

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны 8, точка K ― середина бокового ребра AP.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной прямым PB и BC.
б) Найдите площадь сечения.

Решение

Пусть точка М – середина АВ. Тогда КМ ∥ РВ как средняя линия ∆AРВ.
Пусть точка N – середина PD. Поскольку КN – средняя линия ∆AРD, KN ∥ AD, и тогда KN ∥ BC.
Построим сечение пирамиды плоскостью KMN. Пусть плоскости КМN и АВС пересекаются по прямой МЕ. Покажем, что ME∥AD.

По теореме о прямой и параллельной ей плоскости,

\left.\begin{matrix}KN\parallel (ABC)\\ KN\in (KMN)\\ (KMN)\cap (ABC)=ME\end{matrix}\right\}\Rightarrow ME\parallel KN

Это значит,что ME∥AD. Прямая МЕ содержит точку О,являющуюся проекцией вершины Р на плоскость АВС. Трапеция KNEM-искомое сечение.
б) Найдём площадь сечения.

S_{KNEM}=\frac{1}{2}\cdot (ME+KN)\cdot h,где h-высота трапеции KNEM.

Пусть H - середина KN,

OH⊥KN.

MK=NE=\frac{1}{2}\cdot 8=4,

KN=4,тогда HO=2\sqrt{3},

S_{KNEM}=\frac{1}{2}\cdot 12 \cdot 2\sqrt{3}=12\sqrt{3}

Ответ:

б) 12\sqrt{3}