Условие задачи
В правильной четырехугольной пирамиде \(PABCD\), все ребра которой равны 8, точка \(K\) ― середина бокового ребра \(AP.\)
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку \(K\) и параллельной прямым \(PB\) и \(BC.\)
б) Найдите площадь сечения.
Решение
Пусть точка \(M\) – середина \(AB\). Тогда \(KM\parallel PB\) как средняя линия \(\triangle APB.\)
Пусть точка \(N\) – середина \(PD\). Поскольку \(KN\) – средняя линия \(\triangle APD, \ KN\parallel AD,\) и тогда \(KN\parallel BC.\)
Построим сечение пирамиды плоскостью \(KMN\). Пусть плоскости \(KMN\) и \(ABC\) пересекаются по прямой \(ME\). Покажем, что \(ME\parallel AD.\)
По теореме о прямой и параллельной ей плоскости,
\(\left.\begin{matrix}
KN\parallel (ABC),\\
KN\in (KMN),\\
(KMN)\cap (ABC)=ME;
\end{matrix}\right\}\Rightarrow ME\parallel KN.\)
Это значит, что \(ME\parallel AD.\) Прямая \(ME\) содержит точку \(O\), являющуюся проекцией вершины \(P\) на плоскость \(ABC\). Трапеция \(KNEM\) – искомое сечение.
б) Найдём площадь сечения.
\(S_{KNEM}=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot (ME+KN)\cdot h\), где \(h\) – высота трапеции \(KNEM.\)
Пусть \(H\) – середина \(KN, \ OH\perp KN.\)
\(MK=NE=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 8=4,\)
\(KN=4,\) тогда \(HO=2\sqrt{3},\)
\(S_{KNEM}=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 12 \cdot 2\sqrt{3}=12\sqrt{3}.\)
Ответ:
б) \(12\sqrt{3}.\)
