Решение. Задание 14, Вариант 3

Условие задачи

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны 8, точка K ― середина бокового ребра AP.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной прямым PB и BC.
б) Найдите площадь сечения.

Решение

Пусть точка М – середина АВ. Тогда КМ ∥ РВ как средняя линия ∆AРВ.
Пусть точка N – середина PD. Поскольку КN – средняя линия ∆AРD, KN ∥ AD, и тогда KN ∥ BC.
Построим сечение пирамиды плоскостью KMN. Пусть плоскости КМN и АВС пересекаются по прямой МЕ. Покажем, что ME∥AD.

По теореме о прямой и параллельной ей плоскости,

$\left.\begin{matrix}KN\parallel (ABC)\\ KN\in (KMN)\\ (KMN)\cap (ABC)=ME\end{matrix}\right\}\Rightarrow ME\parallel KN .$

Это значит, что ME∥AD. Прямая МЕ содержит точку О, являющуюся проекцией вершины Р на плоскость АВС. Трапеция KNEM-искомое сечение.

б) Найдём площадь сечения.

$S_{KNEM}=\frac{1}{2}\cdot (ME+KN)\cdot h$ ,где h-высота трапеции KNEM.

Пусть H - середина KN,

OH⊥KN.

$MK=NE=\frac{1}{2}\cdot 8=4$ ,

KN=4,тогда $HO=2\sqrt{3}$ ,

$S_{KNEM}=\frac{1}{2}\cdot 12 \cdot 2\sqrt{3}=12\sqrt{3}.$

Ответ:

б) $12\sqrt{3}.$

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Решение. Задание 14, Вариант 3» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 08.03.2023

Решение. Задание 14, Вариант 3

Это полезно