Условие задачи
В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны 8, точка K ― середина бокового ребра AP.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной прямым PB и BC.
б) Найдите площадь сечения.
Решение
Пусть точка М – середина АВ. Тогда КМ ∥ РВ как средняя линия ∆AРВ.
Пусть точка N – середина PD. Поскольку КN – средняя линия ∆AРD, KN ∥ AD, и тогда KN ∥ BC.
Построим сечение пирамиды плоскостью KMN. Пусть плоскости КМN и АВС пересекаются по прямой МЕ. Покажем, что ME∥AD.
По теореме о прямой и параллельной ей плоскости,
\(\left.\begin{matrix}
KN\parallel (ABC)\\
KN\in (KMN)\\
(KMN)\cap (ABC)=ME
\end{matrix}\right\}\Rightarrow ME\parallel KN .\)
Это значит, что ME∥AD. Прямая МЕ содержит точку О, являющуюся проекцией вершины Р на плоскость АВС. Трапеция KNEM-искомое сечение.
б) Найдём площадь сечения.
\(S_{KNEM}=\frac{1}{2}\cdot (ME+KN)\cdot h\),где h-высота трапеции KNEM.
Пусть H - середина KN,
OH⊥KN.
\(MK=NE=\frac{1}{2}\cdot 8=4\),
KN=4,тогда \(HO=2\sqrt{3}\),
\(S_{KNEM}=\frac{1}{2}\cdot 12 \cdot 2\sqrt{3}=12\sqrt{3}.\)
Ответ:
б) \(12\sqrt{3}.\)
