Решение. Задание 14, Вариант 3

Условие задачи

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны 8, точка K ― середина бокового ребра AP.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной прямым PB и BC.
б) Найдите площадь сечения.

Решение

Пусть точка М – середина АВ. Тогда КМ ∥ РВ как средняя линия ∆AРВ.
Пусть точка N – середина PD. Поскольку КN – средняя линия ∆AРD, KN ∥ AD, и тогда KN ∥ BC.
Построим сечение пирамиды плоскостью KMN. Пусть плоскости КМN и АВС пересекаются по прямой МЕ. Покажем, что ME∥AD.

По теореме о прямой и параллельной ей плоскости,

Это значит, что ME∥AD. Прямая МЕ содержит точку О, являющуюся проекцией вершины Р на плоскость АВС. Трапеция KNEM-искомое сечение.

б) Найдём площадь сечения.

,где h-высота трапеции KNEM.

Пусть H - середина KN,

OH⊥KN.

,

KN=4,тогда ,

Ответ:

б)