Условие задачи
Квадрат \(ABCD\) и цилиндр расположены таким образом, что \(AB\) – диаметр верхнего основания цилиндра, а \(CD\) лежит в плоскости нижнего основания и касается его окружности.
а) Докажите, что плоскость квадрата наклонена к плоскости основания цилиндра под углом \(60^{\circ}\).
б) Найдите длину той части отрезка \(BD\), которая находится внутри цилиндра, если образующая цилиндра равна \(\sqrt 6\).
Решение
Главное в этой задаче – хороший рисунок.
а) Пусть \(A_1\) и \(B_1\) – проекции точек \(A\) и \(B\) на нижнее основание цилиндра. Покажем, что угол между плоскостями \(ABC\) и \(A_1 B_1 C\) равен \(60^{\circ}.\)
Пусть \(M\) – точка касания окружности нижнего основания цилиндра и прямой \(DC.\)
\(A_1 B_1 \parallel CD.\)
Tочка \(M\) – середина \(CD.\) Очевидно, \(O_1 M\perp CD.\)
Обозначим \( O_1 M=r; \ r=\displaystyle \frac {1}{2}A_1 B_1=\frac {1}{2} AB.\)
Тогда \(OM=AD=2r.\)
В треугольнике \(OO_1 M \) гипотенуза \(OM\) в 2 раза больше катета \(O_1 M. \)
Значит, ∠\(O_1 OM=30^{\circ}, \ \angle OMO_1=60^{\circ} \). Угол \(\angle OMO_1 \) – это угол между плоскостями \((ABC)\) и \(( A_1 B_1 C) .\)
б) Пусть длина образующей цилиндра \(AA_1=\sqrt 6 .\)
\(F\) – точка пересечения отрезка \(BD\) с поверхностью цилиндра, \(F_1\) – проекция точки \(F\) на плоскость \(A_1 B_1C.\)
В пункте (а) мы нашли, что \(OM =2r\). Тогда \(OO_1= AA_1=r\sqrt 3\) – образующая цилиндра.
Поскольку \( AA_1=\sqrt 6,\) найдем \(r=\sqrt 2.\)
Теперь нам известны стороны квадрата. \(AD=BC=AB=2\sqrt 2.\)
Диагональ квадрата \(ABCD\) в \(\sqrt 2\) раз больше его стороны, поэтому \(BD=2\sqrt 2\cdot \sqrt 2=4.\)
Из \(\triangle A_1 B_1 D :\)
\(B_1D=\sqrt{(2r)^2+r^2}=r\sqrt{5}=\sqrt{10};\)
\(\cos \angle A_1B_1D=\displaystyle \frac{2r}{r\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}};\)
\(\angle A_1F_1B_1=90^{\circ}\) (опирается на диаметр \( A_1B_1\));
\(B_1F_1=A_1B_1\cdot \cos \angle A_1B_1D=2r\cdot \displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{4r}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}}.\)
Тогда \(F_1D=B_1D-B_1F_1=\sqrt{10}-\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5};\)
\(\Delta BB_1D\sim \Delta FF_1D.\)
\(\frac{B_1D}{F_1D}=\displaystyle \frac{BD}{FD}; \ FD=\displaystyle \frac{F_1D\cdot BD}{B_1D}=\frac{\sqrt{10}\cdot 4}{5\cdot \sqrt{10}}=\displaystyle \frac{4}{5};\)
\(BF=BD-FD=4-\displaystyle \frac{4}{5}=\frac{16}{5}.\)
\(BF\) – это часть отрезка \(BD\), которая находится внутри цилиндра. Она равна \(\displaystyle \frac{16}{5}.\)
Ответ:
б) \(\displaystyle \frac{16}{5}.\)
