Условие задачи
Квадрат АВСD и цилиндр расположены таким образом, что АВ – диаметр верхнего основания цилиндра, а СD лежит в плоскости нижнего основания и касается его окружности.
а) Докажите, что плоскость квадрата наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 60°.
б) Найдите длину той части отрезка ВD, которая находится внутри цилиндра, если образующая цилиндра равна .
Решение
Главное в этой задаче – хороший рисунок.
а) Пусть и
- проекции точек А и В на нижнее основание цилиндра. Покажем, что угол между плоскостями ABC и
равен 60°.
Пусть М – точка касания окружности нижнего основания цилиндра и прямой DC.
Tочка М - середина CD.Очевидно,
Обозначим
Тогда
В треугольнике гипотенуза ОМ в 2 раза больше катета
Значит, ∠, ∠
. Угол ∠
- это угол между плоскостями (ABC) и
.
б) Пусть длина образующей цилиндра ,
F – точка пересечения отрезка BD с поверхностью цилиндра, – проекция точки F на плоскость
.
В пункте (а) мы нашли, что . Тогда
- образующая цилиндра.
Поскольку , найдем
.
Теперь нам известны стороны квадрата. .
Диагональ квадрата АВСD в раз больше его стороны, поэтому
.
Из ∆:
(опирается на диаметр
);
Тогда
ВF – это часть отрезка ВD, которая находится внутри цилиндра. Она равна .
Ответ:
б)
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Решение. Задание 14, Вариант 4.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 08.09.2023