Решение. Задание 14, Вариант 4.

Условие задачи

Квадрат АВСD и цилиндр расположены таким образом, что АВ – диаметр верхнего основания цилиндра, а СD лежит в плоскости нижнего основания и касается его окружности.
а) Докажите, что плоскость квадрата наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 60°.
б) Найдите длину той части отрезка ВD, которая находится внутри цилиндра, если образующая цилиндра равна $\sqrt 6$ .

Решение

Главное в этой задаче – хороший рисунок.

а) Пусть $A_1$ и $B_1$ - проекции точек А и В на нижнее основание цилиндра. Покажем, что угол между плоскостями ABC и $A_1 B_1 C$ равен 60°.
Пусть М – точка касания окружности нижнего основания цилиндра и прямой DC.

$A_1 B_1 \parallel CD.$

Tочка М - середина CD.Очевидно, $O_1 M\perp CD.$

Обозначим $O_1 M=r;\ r=\frac {1}{2}A_1 B_1=\frac {1}{2} AB.$

Тогда $OM=AD=2r.$

В треугольнике $OO_1 M$ гипотенуза ОМ в 2 раза больше катета $O_1 M.$

Значит, ∠ $O_1 OM=30^{\circ}$ , ∠ $OMO_1=60^{\circ}$ . Угол ∠ $OMO_1$ - это угол между плоскостями (ABC) и $( A_1 B_1 C)$ .

б) Пусть длина образующей цилиндра $AA_1=\sqrt 6$ ,
F – точка пересечения отрезка BD с поверхностью цилиндра, $F_1$ – проекция точки F на плоскость $A_1 B_1C$ .

В пункте (а) мы нашли, что $OM =2r$ . Тогда $OO_1= AA_1=r\sqrt 3$ - образующая цилиндра.
Поскольку $AA_1=\sqrt 6$ , найдем $r=\sqrt 2$ .

Теперь нам известны стороны квадрата. $AD=BC=AB=2\sqrt 2$ .

Диагональ квадрата АВСD в $\sqrt 2$ раз больше его стороны, поэтому $BD=2\sqrt 2\cdot \sqrt 2=4$ .

Из ∆ $A_1 B_1 D$ :

$B_1D=\sqrt{(2r)^2+r^2}=r\sqrt{5}=\sqrt{10};$

$\cos \angle A_1B_1D=\frac{2r}{r\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}};$

$\angle A_1F_1B_1=90^{\circ}$ (опирается на диаметр $A_1B_1$ );

$B_1F_1=A_1B_1\cdot \cos \angle A_1B_1D=2r\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{4r}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}}.$

Тогда

$F_1D=B_1D-B_1F_1=\sqrt{10}-\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5};$

$\Delta BB_1D\sim \Delta FF_1D;$

$\frac{B_1D}{F_1D}=\frac{BD}{FD};\ FD=\frac{F_1D\cdot BD}{B_1D}=\frac{\sqrt{10}\cdot 4}{5\cdot \sqrt{10}}=\frac{4}{5};$

$BF=BD-FD=4-\frac{4}{5}=\frac{16}{5}.$

ВF – это часть отрезка ВD, которая находится внутри цилиндра. Она равна $\frac{16}{5}$ .

Ответ:

б) $\frac{16}{5}.$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Решение. Задание 14, Вариант 4.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 08.03.2023

Решение. Задание 14, Вариант 4.

Это полезно