Условие задачи
Квадрат АВСD и цилиндр расположены таким образом, что АВ – диаметр верхнего основания цилиндра, а СD лежит в плоскости нижнего основания и касается его окружности.
а) Докажите, что плоскость квадрата наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 60°.
б) Найдите длину той части отрезка ВD, которая находится внутри цилиндра, если образующая цилиндра равна \(\sqrt 6\).
Решение
Главное в этой задаче – хороший рисунок.
а) Пусть \(A_1\) и \(B_1\) - проекции точек А и В на нижнее основание цилиндра. Покажем, что угол между плоскостями ABC и \(A_1 B_1 C\) равен 60°.
Пусть М – точка касания окружности нижнего основания цилиндра и прямой DC.
\(A_1 B_1 \parallel CD.\)
Tочка М - середина CD.Очевидно, \(O_1 M\perp CD.\)
Обозначим \( O_1 M=r;\ r=\frac {1}{2}A_1 B_1=\frac {1}{2} AB.\)
Тогда \(OM=AD=2r.\)
В треугольнике \(OO_1 M \) гипотенуза ОМ в 2 раза больше катета \(O_1 M. \)
Значит, ∠\(O_1 OM=30^{\circ}\), ∠\(OMO_1=60^{\circ} \). Угол ∠\(OMO_1 \) - это угол между плоскостями (ABC) и \(( A_1 B_1 C) \).
б) Пусть длина образующей цилиндра \(AA_1=\sqrt 6 \),
F – точка пересечения отрезка BD с поверхностью цилиндра, \(F_1\) – проекция точки F на плоскость \(A_1 B_1C\).
В пункте (а) мы нашли, что \(OM =2r\). Тогда \(OO_1= AA_1=r\sqrt 3\) - образующая цилиндра.
Поскольку \( AA_1=\sqrt 6\), найдем \(r=\sqrt 2\).
Теперь нам известны стороны квадрата. \(AD=BC=AB=2\sqrt 2\).
Диагональ квадрата АВСD в \(\sqrt 2\) раз больше его стороны, поэтому \(BD=2\sqrt 2\cdot \sqrt 2=4\) .
Из ∆\(A_1 B_1 D \):
\(B_1D=\sqrt{(2r)^2+r^2}=r\sqrt{5}=\sqrt{10};\)
\(\cos \angle A_1B_1D=\frac{2r}{r\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}};\)
\(\angle A_1F_1B_1=90^{\circ}\) (опирается на диаметр \( A_1B_1\));
\(B_1F_1=A_1B_1\cdot \cos \angle A_1B_1D=2r\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{4r}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}}.\)
Тогда
\(F_1D=B_1D-B_1F_1=\sqrt{10}-\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5};\)
\(\Delta BB_1D\sim \Delta FF_1D;\)
\(\frac{B_1D}{F_1D}=\frac{BD}{FD};\ FD=\frac{F_1D\cdot BD}{B_1D}=\frac{\sqrt{10}\cdot 4}{5\cdot \sqrt{10}}=\frac{4}{5};\)
\(BF=BD-FD=4-\frac{4}{5}=\frac{16}{5}.\)
ВF – это часть отрезка ВD, которая находится внутри цилиндра. Она равна \(\frac{16}{5}\).
Ответ:
б) \(\frac{16}{5}.\)
