Условие задачи
Решите неравенство: \(\left(\displaystyle \frac{1}{x^2-7x+12}+\frac{x-4}{3-x}\right )\sqrt{6x-x^2}\leq 0.\)
Решение
\(\left(\displaystyle \frac{1}{x^2-7x+12}+\frac{x-4}{3-x}\right )\sqrt{6x-x^2}\leq 0.\)
Выражение под корнем должно быть неотрицательно. Это область допустимых значений неравенства.
Произведение двух множителей меньше либо равно нуля тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю или когда множители имеют разные знаки.
Корень квадратный не может быть отрицательным, он может быть только равен нулю. И если он равен нулю – знак первого множителя (в скобках) уже не важен. И значит, неравенство равносильно системе:
\(\left\{\begin{matrix}
6x-x^{2}\geq 0 \ (ОДЗ), \\\left[\begin{matrix}
6x-x^{2}=0, \\\displaystyle \frac{1}{x^{2}-7x+12}+\frac{x-4}{3-x}\leq 0;
\end{matrix}\right.
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x(6-x)\geq 0, \\\left[\begin{matrix}
x=0, \\x=6,
\\ \displaystyle \frac{1}{(x-3)(x-4)}-\frac{x-4}{x-3}\leq 0;
\end{matrix}\right.
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
0\leq x \leq 6,\\\left[\begin{matrix}
x=0, \\x=6,
\\\displaystyle \frac{1-(x-4)^{2}}{(x-3)(x-4)}\leq 0;
\end{matrix}\right.
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
0\leq x\leq 6, \\\left[\begin{matrix}
x=0, \\x=6,
\\\displaystyle \frac{(1-x+4)(1+x-4)}{(x-3)(x-4)}\leq 0;
\end{matrix}\right.
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
0\leq x\leq 6, \\\left[\begin{matrix}
x=0, \\x=6,
\\\displaystyle \frac{(5-x)(x-3)}{(x-3)(x-4)}\leq 0.
\end{matrix}\right.
\end{matrix}\right. \)
Ответ:
\([0; 3)\cup (3; 4)\cup [5; 6].\)
