Решение. Задание 15, Вариант 3

Условие задачи

Решите неравенство: $\displaystyle \frac{2}{7^x-7}\geq \displaystyle \frac{5}{7^x-4}.$

Решение

$\displaystyle \frac{2}{7^x-7}\geq \frac{5}{7^x-4}.$

Сделаем замену переменной:

$7^x=t,\ t>0.$

$\displaystyle \frac{2}{t-7}- \frac{5}{t-4}\geq 0;$

$\displaystyle \frac{2t-8-5t+35}{(t-7)(t-4)} \geq 0;$

$\displaystyle \frac{27-3t}{(t-7)(t-4)} \geq 0;$

$\displaystyle \frac{t-9}{(t-7)(t-4)} \leq 0.$

Обратите внимание, что возвращаться к переменной $x$ еще рано. Сначала решим неравенство с переменой $t$ методом интервалов:

Поскольку t>0, получим:

$\left[ \begin{gathered} t<4 \\ 7<t\leq 9 \\ \end{gathered} \right. .$

Тогда

$\left[ \begin{gathered} 7^4<4 \\ 7<7^x\leq 9 \\ \end{gathered} \right.;$

$\left[ \begin{gathered} 7^4<7^{log_74} \\ 7^1<7^x\leq 7^{log_79}\\ \end{gathered} \right. .$

Посмотрите, как мы представили 4 и 9 в виде степеней с основанием 7. Мы применили основное логарифмическое тождество.

$\left[ \begin{gathered} x<log_74 \\ 1<x\leq log_79\\ \end{gathered} \right. .$

Ответ:

$x\in (-\infty ; \log_7{4}) \cup (1; \log_7{9}].$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Решение. Задание 15, Вариант 3» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 10.03.2023

Решение. Задание 15, Вариант 3

Это полезно