Условие задачи
Решите неравенство: \( log_{3-x}\displaystyle \frac{x+4}{(x-3)^{2}}\geq -2\).
Решение
\(log_{3-x}\frac{x+4}{(x-3)^{2}}\geq -2\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
3-x> 0, \\3-x\neq 1,
\\\displaystyle \frac{x+4}{(x-3)^{2}}> 0,
\\log_{3-x}\displaystyle \frac{x+4}{(x-3)^{2}}+2\geq 0.
\end{matrix}\right.\)
Мы объединили в систему и область допустимых значений, и само неравенство.
Применим формулу логарифма частного, учитывая, что \((a-b)^2=(b-a)^2.\) Используем также условия \(3-x>0; \ x+4>0.\)
\(\left\{\begin{matrix}
x< 3, \\x\neq 2,
\\x+4> 0,
\\log_{3-x}(x+4)-log_{3-x}(3-x)^{2}+2\geq 0;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x< 3, \\x\neq 2,
\\x> -4,
\\log_{3-x}(x+4)\geq 0.
\end{matrix}\right.\)
Обратите внимание, как мы применили формулу для логарифма степени. Строго говоря, \(log_{a}(b(x))^{2}=2log_{a}\left| b(x)\right|.\)
Поскольку \(3-x> 0, \ log_{3-x}(3-x)^{2}=2log_{3-x}\left| 3-x\right|=2log_{3-x}(3-x)=2.\)
Согласно методу замены множителя, выражение \(\log_{3-x}{(x+4)}\) заменим на \((3-x-1)(x+4-1).\)
Получим систему: \(\left\{\begin{matrix}
x\neq 2, \\-4< x< 3,
\\(2-x)(x+3)\geq 0.
\end{matrix}\right.\)
Решить ее легко.
Ответ:
\(x\in [-3; 2).\)
