previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 16, Вариант 2

Условие задачи

В треугольнике \(ABC\) точки \(A_{1}, \ B_{1}\) и \(C_{1}\) — середины сторон \(BC, \ AC\) и \(AB\) соответственно, \(AH\) — высота, \(\angle BAC=60^{\circ}, \ \angle BCA=45^{\circ}.\)

а) Докажите, что точки \(A_{1}, \ B_{1}, \ C_{1}\) и \(H\) лежат на одной окружности.

б) Найдите \(A_{1}H\), если \(BC = 2\sqrt{ 3}.\)

Решение

а) Докажем, что \(A_{1}, \ B_{1}, \ C_{1}\) и \(H\) лежат на одной окружности.

\(A_1 B_1 \) и \(B_1 C_1 \) — средние линии \(\triangle ABC.\) Это значит, что \(A_1 B_1 \parallel AB, \ B_1 C_1 \parallel BC.\)

\(\angle A_1 B_1 C= \angle BAC=60^{\circ}.\)

\(\angle C_1 B_1 A=\angle BCA=45 ^{\circ}.\)

Тогда \(\angle A_1 B_1 C_1=75^{\circ}.\)

\(\angle A_1 HC_1=90^{\circ}+\angle AHC_1.\)

\(\triangle AHC_1\) — равнобедренный (поскольку \(HC_1\) — медиана прямоугольного треугольника \(AHB, \ HC_1=AC_1\)).

\(\angle AHC_1\)= \(\angle HAC_1=90 ^{\circ}- 75=15 ^{\circ},\)

значит, \(\angle A_1 HC_1=90 ^{\circ}+15=105 ^{\circ}, \ \angle A_1 HC_1 + \angle A_1 B_1 C_1=180 ^{\circ}.\)

Четырехугольник \(A_1 HC_1 B_1\) можно вписать в окружность.

б) \(BC=2\sqrt{3}\); найдем \(A_1 H.\)

Очевидно, \(B_{1}C_{1}=\displaystyle \frac{BC}{2}=\sqrt{3}\) (как средняя линия \(\triangle ABC\)),

\(\triangle A_1 B_1 C_1~\triangle ABC\) (по трем сторонам),

\(\angle A_1=\angle A=60^{\circ}\), тогда по теореме синусов

\(\displaystyle \frac{B_1C_1}{\sin \angle B_1A_1C_1}=2R,\) где \(R\) — радиус окружности, на которой лежат точки \(A_1, \ B_1, \ C_1 ,\ H .\)

Найдем \(R: \ 2R=\displaystyle \frac{\sqrt{3}\cdot 2}{\sqrt{3}}; \ R=1. \)

Рассмотрим \(\triangle A_1 C_1 H:\)

\(\displaystyle \frac{A_1H}{\sin \angle A_1C_1H}=2R;\)

\(\angle A_1CH=180^{\circ}-\angle HA_1C_1-\angle A_1HC_1=180^{\circ}-45^{\circ}-105^{\circ}=30^{\circ};\)

\(A_1H=2R\cdot \sin 30^{\circ}=2\cdot \displaystyle \frac{1}{2}=1.\)

Ответ:

б) 1.