Условие задачи
В треугольнике \(ABC\) точки \(A_{1}, \ B_{1}\) и \(C_{1}\) — середины сторон \(BC, \ AC\) и \(AB\) соответственно, \(AH\) — высота, \(\angle BAC=60^{\circ}, \ \angle BCA=45^{\circ}.\)
а) Докажите, что точки \(A_{1}, \ B_{1}, \ C_{1}\) и \(H\) лежат на одной окружности.
б) Найдите \(A_{1}H\), если \(BC = 2\sqrt{ 3}.\)
Решение
а) Докажем, что \(A_{1}, \ B_{1}, \ C_{1}\) и \(H\) лежат на одной окружности.
\(A_1 B_1 \) и \(B_1 C_1 \) — средние линии \(\triangle ABC.\) Это значит, что \(A_1 B_1 \parallel AB, \ B_1 C_1 \parallel BC.\)
\(\angle A_1 B_1 C= \angle BAC=60^{\circ}.\)
\(\angle C_1 B_1 A=\angle BCA=45 ^{\circ}.\)
Тогда \(\angle A_1 B_1 C_1=75^{\circ}.\)
\(\angle A_1 HC_1=90^{\circ}+\angle AHC_1.\)
\(\triangle AHC_1\) — равнобедренный (поскольку \(HC_1\) — медиана прямоугольного треугольника \(AHB, \ HC_1=AC_1\)).
\(\angle AHC_1\)= \(\angle HAC_1=90 ^{\circ}- 75=15 ^{\circ},\)
значит, \(\angle A_1 HC_1=90 ^{\circ}+15=105 ^{\circ}, \ \angle A_1 HC_1 + \angle A_1 B_1 C_1=180 ^{\circ}.\)
Четырехугольник \(A_1 HC_1 B_1\) можно вписать в окружность.
б) \(BC=2\sqrt{3}\); найдем \(A_1 H.\)
Очевидно, \(B_{1}C_{1}=\displaystyle \frac{BC}{2}=\sqrt{3}\) (как средняя линия \(\triangle ABC\)),
\(\triangle A_1 B_1 C_1~\triangle ABC\) (по трем сторонам),
\(\angle A_1=\angle A=60^{\circ}\), тогда по теореме синусов
\(\displaystyle \frac{B_1C_1}{\sin \angle B_1A_1C_1}=2R,\) где \(R\) — радиус окружности, на которой лежат точки \(A_1, \ B_1, \ C_1 ,\ H .\)
Найдем \(R: \ 2R=\displaystyle \frac{\sqrt{3}\cdot 2}{\sqrt{3}}; \ R=1. \)
Рассмотрим \(\triangle A_1 C_1 H:\)
\(\displaystyle \frac{A_1H}{\sin \angle A_1C_1H}=2R;\)
\(\angle A_1CH=180^{\circ}-\angle HA_1C_1-\angle A_1HC_1=180^{\circ}-45^{\circ}-105^{\circ}=30^{\circ};\)
\(A_1H=2R\cdot \sin 30^{\circ}=2\cdot \displaystyle \frac{1}{2}=1.\)
Ответ:
б) 1.