Условие задачи
В треугольнике АВС точки ,
и
— середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC = 60°, ∠BCA = 45°.
а) Докажите, что точки ,
,
и H лежат на одной окружности.
б) Найдите , если
.
Решение
В треугольнике АВС точки ,
и
— середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC = 60°, ∠BCA = 45°.
а) Докажите, что точки ,
,
и
лежат на одной окружности.
б) Найдите , если
.
а) Докажем, что ,
,
и
лежат на одной окружности.
и
- средние линии △АBС. Это значит, что
,
,
∠∠
,
∠∠
.
Тогда ∠.
∠∠
△ - равнобедренный (поскольку
- медиана прямоугольного треугольника
.
∠= ∠
,
значит, ∠, ∠
∠
.
Четырехугольник можно вписать в окружность.
б) ; найдем
.
Очевидно, ( как средняя линия △АВС),
△~△
(по трем сторонам),
∠∠
, тогда по теореме синусов
где R-радиус окружности,на которой лежат точки
,
,
.
Найдем R.
Рассмотрим △:
Ответ:
б) 1