Решение. Задание 16, Вариант 2

Условие задачи

В треугольнике АВС точки $A_{1}$ , $B_{1}$ и $C_{1}$ — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC = 60°, ∠BCA = 45°.
а) Докажите, что точки $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ и H лежат на одной окружности.
б) Найдите $A_{1}H$ , если $BC = 2\sqrt{ 3}$ .

Решение

В треугольнике АВС точки $A_{1}$ , $B_{1}$ и $C_{1}$ — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC = 60°, ∠BCA = 45°.

а) Докажите, что точки $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ и $H$ лежат на одной окружности.

б) Найдите $A_{1}H$ , если $BC = 2\sqrt{ 3}$ .

а) Докажем, что $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ и $H$ лежат на одной окружности.

$A_1 B_1$ и $B_1 C_1$ - средние линии △АBС. Это значит, что $A_1 B_1 \parallel AB$ , $B_1 C_1 \parallel BC$ ,

∠ $A_1 B_1 C=$ ∠ $BAC=60^{\circ}$ ,
∠ $C_1 B_1 A=$ ∠ $BCA=45 ^{\circ}$ .

Тогда ∠ $A_1 B_1 C_1=75^{\circ}$ .

∠ $A_1 HC_1=90^{\circ}+$ ∠ $AHC_1$ .

△ $AHC_1$ - равнобедренный (поскольку $HC_1$ - медиана прямоугольного треугольника $AHB, \ HC_1=AC_1)$ .

∠ $AHC_1$ = ∠ $HAC_1=90 ^{\circ}- 75=15 ^{\circ}$ ,

значит, ∠ $A_1 HC_1=90 ^{\circ}+15=105 ^{\circ}$ , ∠ $A_1 HC_1 +$ ∠ $A_1 B_1 C_1=180 ^{\circ}$ .

Четырехугольник $A_1 HC_1 B_1$ можно вписать в окружность.

б) $BC=2\sqrt{3}$ ; найдем $A_1 H$ .

Очевидно, $B_{1}C_{1}=\frac{BC}{2}=\sqrt{3}$ ( как средняя линия △АВС),

△ $A_1 B_1 C_1$ ~△ $ABC$ (по трем сторонам),

∠ $A_1=$ ∠ $A=60^{\circ}$ , тогда по теореме синусов
$\displaystyle \frac{B_1C_1}{\sin \angle B_1A_1C_1}=2R,$ где R — радиус окружности, на которой лежат точки $A_1$ , $B_1$ , $C_1 ,\ H$ .