Условие задачи
(Авторская задача) Высоты равнобедренного треугольника АВС с основанием АС пересекаются в точке Н, угол В равен 30 градусов. Луч СН второй раз пересекает окружность ω, описанную вокруг треугольника АВН, в точке К.
а) Докажите, что ВА – биссектриса угла КВС.
б) Отрезок ВС пересекает окружность ω в точке Е. Найдите ВЕ, если АС = 12.
Решение
а) Пусть AD, ВТ и CF – высоты треугольника ABC.
△AВD – прямоугольный, ∠BDA=90°, ∠BAD=60°.
Тогда ∠HKB=∠BAH =60° (как вписанные углы, опирающиеся на дугу BH).
△KBF – прямоугольный, ∠FKB=60°, тогда ∠KBF=30° => BA – биссектриса ∠KBС.
Кроме того, △KBС – правильный (∠ВКС=60°, высота BF является биссектрисой); KB=BC=KC.
б) AC=12, BC∩ω=E. Найдем ВЕ.
По теореме синусов из △АBС:
Заметим, что из точки С проведены к окружности секущие СВ и СК;
по свойству отрезков секущих СВ∙СЕ=СК∙СН;
поскольку ВС=СК, получается, что СЕ=СН.
Значит, треугольник СЕН – правильный.
Тогда ВЕ=СВ – СЕ = АВ – СН.
Из △АСН по теореме синусов:
Ответ:
б)
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Решение. Задание 16, Вариант 3» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 09.09.2023