Решение. Задание 16, Вариант 3

Условие задачи

(Авторская задача) Высоты равнобедренного треугольника АВС с основанием АС пересекаются в точке Н, угол В равен 30 градусов. Луч СН второй раз пересекает окружность ω, описанную вокруг треугольника АВН, в точке К.
а) Докажите, что ВА – биссектриса угла КВС.
б) Отрезок ВС пересекает окружность ω в точке Е. Найдите ВЕ, если АС = 12.

Решение

а) Пусть AD, ВТ и CF – высоты треугольника ABC.

△AВD – прямоугольный, ∠BDA=90°, ∠BAD=60°.

Тогда ∠HKB=∠BAH =60° (как вписанные углы, опирающиеся на дугу BH).

△KBF – прямоугольный, ∠FKB=60°, тогда ∠KBF=30° => BA – биссектриса ∠KBС.

Кроме того, △KBС – правильный (∠ВКС=60°, высота BF является биссектрисой); KB=BC=KC.

б) AC=12, BC∩ω=E. Найдем ВЕ.

По теореме синусов из △АBС:

Заметим, что из точки С проведены к окружности секущие СВ и СК;

по свойству отрезков секущих СВ∙СЕ=СК∙СН;

поскольку ВС=СК, получается, что СЕ=СН.

Значит, треугольник СЕН – правильный.

Тогда ВЕ=СВ – СЕ = АВ – СН.

Из △АСН по теореме синусов:

Ответ:

б)