Пробный вариант ЕГЭ по математике — Задание №16 ( вариант 4) решение и ответы

Условие задачи

Прямые, содержащие катеты AC и CB прямоугольного треугольника АВС, являются общими внутренними касательными к окружностям радиусов 4 и 8. Прямая, содержащая гипотенузу АВ, является их общей внешней касательной.
а) Докажите, что длина отрезка внутренней касательной, проведенной из вершины острого угла треугольника до одной из окружностей, равна половине периметра треугольника АСВ.
б) Найдите площадь треугольника АСВ.

Решение

Пусть L, K, M, N, P, Q – точки касания

а) Докажем, что .

Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Значит,

AN=AP;

AN=AC+CN=AC+CQ;

AP=AB+BP=AB+BQ;

2AN=AC+AB+CQ+BQ =AC+AB+BC;

б) Найдем , если, .

Поскольку и – квадраты,
МС=4, QC=8,

Рассмотрим трапецию .

Точка С делит сторону в отношении .

Тогда .

Проведем СН, причем СН – высота треугольника АВС.

.

Из пункта (а):

Отсюда:

,

Ответ:

б) 32