Условие задачи
Прямые, содержащие катеты \(AC\) и \(CB\) прямоугольного треугольника \(ABC\), являются общими внутренними касательными к окружностям радиусов 4 и 8. Прямая, содержащая гипотенузу \(AB\), является их общей внешней касательной.
а) Докажите, что длина отрезка внутренней касательной, проведенной из вершины острого угла треугольника до одной из окружностей, равна половине периметра треугольника \(ACB\).
б) Найдите площадь треугольника \(ACB\).
Решение
Пусть \(L, \ K, \ M, \ N, \ P, \ Q\) – точки касания.
а) Докажем, что \(AN =\displaystyle \frac {1}{2} P_{ABC}.\)
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Значит,
\(AN=AP;\)
\(AN=AC+CN=AC+CQ;\)
\(AP=AB+BP=AB+BQ;\)
\(2AN=AC+AB+CQ+BQ =AC+AB+BC;\)
\(AN = \displaystyle \frac {1}{2} P_{\Delta ABC}.\)
б) Найдем \(S_ {\Delta ABC}\), если, \(r=O_1 M=4, \ R=O_2 N=8.\)
Поскольку \(CMO_1K\) и \(CNO_2 Q \) – квадраты,
\(MC=4, \ QC=8,\)
\(C\in O_1O_2, \ O_1C=4\sqrt{2}, \ O_2C=8\sqrt{2}.\)
Рассмотрим трапецию \(O_1 O_2 PL.\)
\(O_1L=4, \ O_2P=8, \ OO_1=4\sqrt{2}+8\sqrt{2}=12\sqrt{2}.\)
Точка \(C\) делит сторону \(O_1 O_2\) в отношении \(O_1 C: O_2 C=1:2.\)
Тогда \(CF = \displaystyle \frac {4}{3}.\)
Проведем \(CH\), причем \(CH\) – высота треугольника \(ABC.\)
\(CH=CF+FH=\displaystyle \frac {4}{3}+4=\frac {16}{3}.\)
Из пункта (а):
\(\left\{\begin{matrix}
AN=AC+8=\displaystyle \frac{1}{2}P_{ABC},\ (1)\\
BK=BC+4=\displaystyle \frac{1}{2}P_{ABC}.\ (2)\\\end{matrix}\right.\)
Отсюда:
\(BC=AC+4;\)
\(AC+8=\displaystyle \frac{1}{2}(AB+AC+BC);\)
\(AC+8=\displaystyle \frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}\cdot 4;\)
\(\displaystyle \frac{1}{2}AB=6; \ AB=12;\)
\(S_{\Delta ABC}=\displaystyle \frac{1}{2}AB\cdot CH=\frac{1}{2}\cdot \frac{16}{3}\cdot 12=32.\)
Ответ:
б) 32.
