Условие задачи
Прямые, содержащие катеты AC и CB прямоугольного треугольника АВС, являются общими внутренними касательными к окружностям радиусов 4 и 8. Прямая, содержащая гипотенузу АВ, является их общей внешней касательной.
а) Докажите, что длина отрезка внутренней касательной, проведенной из вершины острого угла треугольника до одной из окружностей, равна половине периметра треугольника АСВ.
б) Найдите площадь треугольника АСВ.
Решение
Пусть L, K, M, N, P, Q – точки касания.
а) Докажем, что .
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Значит,
AN=AP;
AN=AC+CN=AC+CQ;
AP=AB+BP=AB+BQ;
2AN=AC+AB+CQ+BQ =AC+AB+BC;
б) Найдем , если,
.
Поскольку и
– квадраты,
МС=4, QC=8,
Рассмотрим трапецию .
Точка С делит сторону в отношении
.
Тогда .
Проведем СН, причем СН – высота треугольника АВС.
.
Из пункта (а):
Отсюда:
Ответ:
б) 32.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Пробный вариант ЕГЭ по математике — Задание №16 ( вариант 4) решение и ответы» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 09.03.2023