Slider

Решение. Задание 19, Вариант 2

Условие задачи

(ЕГЭ-2017) На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6?
б) Может ли ровно одно число на доске оканчиваться на 6?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть записано на доске?

Решение

а) Предположим, что из 30 чисел на доске 15 чисел оканчиваются на двойку, а другие 15 – на шестерку. Сумма 15 чисел, в каждом из которых последняя цифра – двойка, оканчивается на 0. Аналогично и с теми, что оканчиваются на шестерку – их сумма также оканчивается на ноль. Тогда сумма всех чисел на доске никак не может быть равна 2454. Получили противоречие! Ответ в пункте (а) – нет, не может.

б) Предположим, что на доске ровно одно число, которое оканчивается на 6.

Кроме него, на доске есть также 29 различных чисел, в которых последняя цифра – двойка. Какой может быть сумма этих 29 чисел?

Ясно, что она не меньше, чем сумма 29 чисел вида 2, 12, 22, 32… – то есть не меньше, чем сумма 29 членов арифметической прогрессии с разностью 10 и a_1= 2.

Сумма 29 членов такой прогрессии S_{n} =\frac{1}{2}\cdot (2\cdot 2 + 10\cdot 28) \cdot  29 = 4118. Значит, сумма 29 чисел, оканчивающихся на двойку, не меньше 4118, но это больше, чем сумма всех 30 чисел в условии задачи.

Мы снова пришли к противоречию. Получается, на доске не может быть ровно одного числа, оканчивающегося на 6.

в) Какое же наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть записано на доске?
Пусть на доске n чисел, в которых последняя цифра – шестерка (их сумма равна S_1), и 30 – n чисел, в которых последняя – двойка (их сумма равна S_2 ). Ясно, что наименьшими S_1 и S_2 будут в случае, если это числа вида:

6, 16, 26, 36… и 2, 12, 22, 32…

Имеем: S_1 \geq  \frac{1}{2}(6\cdot 2 + 10 (n-1)) \cdot  n ,

S_2   \geq   \frac{1}{2}  (2\cdot 2 + 10 (30-n-1 )) \cdot  (30-n)

При этом S_1+ S_2   = 2454.

\frac{1}{2}(6\cdot 2+10(n-1))\cdot n+\frac{1}{2}(2\cdot 2+10(29-n))\cdot (30-n)\leq 2454

n+5n^2+4410-297n+5n^2\leq 2454

5n^2-148n+978\leq 0

Рассмотрим уравнение

5n^2-148n+978= 0:

D=148-4\cdot 5\cdot 978=4\cdot 586;

2\cdot \sqrt{576}< \sqrt{D}< 2\cdot \sqrt{625};

48< \sqrt{D}< 50.

Оценим наименьшее возможное n при условии, что n – целое.
Вспомним, как выглядят решения неравенства вида ax^2+bx+c\leq 0

n_{min}\geq x_1; то есть

n_{min}\geq \frac{148-2\sqrt{586}}{10};

n_{min}\geq \frac{74-\sqrt{586}}{5}> \frac{74-\sqrt{625}}{5},  то есть n_{min}> \frac{74-25}{5}.

n_{min}> 9,8 тогда n_{min}\geq10

Но что будет, если n = 10? Тогда на доске 10 чисел, которые оканчиваются на 6, и 20 чисел, которые оканчиваются на 2. Сумма всех тридцати чисел в этом случае оканчивается на ноль, и это противоречит условию. Значит, n ≥ 11.

Мы оценили n. Осталось привести пример, когда n = 11, то есть на доске 11 чисел, которые оканчиваются на 6, и 19 чисел, в которых последняя цифра – двойка.

Для того чтобы количество чисел, оканчивающихся на двойку, было максимальным, возьмем числа 2, 12, 22, 32… 182, и тогда сумма этих 19 чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 1748.

Значит, сумма чисел, которые оканчиваются на 6, равна 2454 – 1748 = 706.

Возьмем числа 6, 16, 26, 36… 106.
Сумма этих одиннадцати чисел равна 616. Добавим к последнему из них 90. Получим:

2, 12, 22, 32… 182, 6, 16, 26, 36… 196. Это пример.

Заметим, что когда мы в экзаменационной работе используем метод «Оценка плюс пример», мы не обязаны объяснять, как получили пример. Надо просто его привести.

Ответ:

а) нет;
б) нет;
в) 11 чисел, оканчивающихся на 6. Например 2, 12, 22, 32… 182, 6, 16, 26, 36… 96, 196.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.