Условие задачи
(ЕГЭ-2017) На доске написано 100 различных натуральных чисел, сумма которых равна 5130.
а) Может ли оказаться, что на доске написано число 240?
б) Может ли оказаться, что на доске нет числа 16?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 16, может быть на доске?
Решение
а) Предположим, что на доске есть число 240. Тогда сумма остальных девяноста девяти чисел \(S_{99}=5130-240=4890.\)
Эта сумма не меньше, чем сумма первых 99 членов натурального ряда:
\(S_{99} \geq 1 + 2 + 3... + 99;\)
\(S_{99} \geq 4950\). В то же время \(S_{99} = 4890\) – противоречие! Значит, число 240 не может находиться на доске.
б) Попробуем обойтись без числа 16. Посчитаем сумму натуральных чисел от 1 до 100.
\(S_{100}=1+2+...+100=5050.\)
Теперь заменим число 16 на наименьшее из тех, на которые его можно заменить, – то есть на число 101. Пусть \(Z_{100}\) – сумма 100 чисел после замены. Оценим ее:
\(Z_{100}\geq 5050-16+101=5135\). Опять противоречие с условием! Значит, число 16 обязательно должно быть на доске.
в) Посмотрим, какое наименьшее количество чисел, кратных 16, может быть на доске.
Число 16 должно быть обязательно. Может ли оно быть единственным числом, кратным 16?
Оценим в этом случае сумму 100 чисел на доске:
\(S_{100} \geq 1+2+...+31+33+...+47+49+...+63+65+...+79+81+...+ \newline \newline +95+97+98+99+100+101+102+103+104+105.\)
Мы убрали числа 32, 48, 64, 80 и 96 и заменили их числами 101, 102, 103, 104 и 105.
Тогда
\(S_{100} \geq \displaystyle \frac{1+105}{2}\cdot 105-32-48-64-80-96.\)
\(S_{100} \geq 5245\), и равенство\(S_{100} =5130\) невозможно.
Аналогично, если на доске есть только два числа, кратные 16,
\(S_{100} \geq 1+2+...+47+49+...+63+65+...+79+81+...+ \newline \newline +95+97+98+99+100+101+102+103+104;\)
\(S_{100} \geq \displaystyle \frac{1+104}{2}\cdot 104-48-64-80-96.\)
\(S_{100} \geq 5172 \), и мы снова получим противоречие с условием.
Три числа, кратные 16, могут быть на доске. Пусть это числа 16, 32 и 48.
Тогда
\(S_{100} \geq 1+2+...+63+65+...+79+81+...+95+97+98+ \newline \newline +99+100+101+102+103;\)
\(S_{100} \geq \displaystyle \frac{1+103}{2}\cdot 103-64-80-96.\)
\(S_{100} \geq 5116\), противоречий с условием нет.
Сумма 100 чисел 1, 2,…,63, 65…79,81,…95, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 117 равна 5130, и среди этих 100 чисел есть ровно 3 числа, кратные 16.
Ответ:
- а) Не может.
- б) Не может.
- в) Три числа.
