Решение. Задание 19, Вариант 3

Условие задачи

(ЕГЭ-2017) На доске написано 100 различных натуральных чисел, сумма которых равна 5130
а) Может ли оказаться, что на доске написано число 240?
б) Может ли оказаться, что на доске нет числа 16?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 16, может быть на доске?

Решение

а) Предположим, что на доске есть число 240. Тогда сумма остальных девяноста девяти чисел $S_{99}=5130-240=4890$ .

Эта сумма не меньше, чем сумма первых 99 членов натурального ряда:

$S_{99} \geq 1 + 2 + 3... + 99$ ;
$S_{99} \geq 4950$ . В то же время $S_{99} = 4890$ – противоречие! Значит, число 240 не может находиться на доске.

б) Попробуем обойтись без числа 16. Посчитаем сумму натуральных чисел от 1 до 100.

$S_{100}=1+2+...+100=5050$ .

Теперь заменим число 16 на наименьшее из тех, на которые его можно заменить, – то есть на число 101. Пусть $Z_{100}$ – сумма 100 чисел после замены. Оценим ее:

$Z_{100}\geq 5050-16+101=5135$ . Опять противоречие с условием! Значит, число 16 обязательно должно быть на доске.

в) Посмотрим, какое наименьшее количество чисел, кратных 16, может быть на доске.
Число 16 должно быть обязательно. Может ли оно быть единственным числом, кратным 16?

Оценим в этом случае сумму 100 чисел на доске:

$S_{100} \geq 1+2+...+31+33+...+47+49+...+63+65+...+79+81+...+ \newline \newline +95+97+98+99+100+101+102+103+104+105.$

Мы убрали числа 32, 48, 64, 80 и 96 и заменили их числами 101, 102, 103, 104 и 105.

Тогда

$S_{100} \geq \frac{1+105}{2}\cdot 105-32-48-64-80-96$

$S_{100} \geq 5245$ , и равенство $S_{100} =5130$ невозможно.

Аналогично, если на доске есть только два числа, кратные 16,

$S_{100} \geq 1+2+...+47+49+...+63+65+...+79+81+...+ \newline \newline +95+97+98+99+100+101+102+103+104;$

$S_{100} \geq \frac{1+104}{2}\cdot 104-48-64-80-96$

$S_{100} \geq 5172$ , и мы снова получим противоречие с условием.

Три числа, кратные 16, могут быть на доске. Пусть это числа 16, 32 и 48.

Тогда
$S_{100} \geq 1+2+...+63+65+...+79+81+...+95+97+98+ \newline \newline +99+100+101+102+103;$

$S_{100} \geq \frac{1+103}{2}\cdot 103-64-80-96$

$S_{100} \geq 5116$ , противоречий с условием нет.

Сумма 100 чисел 1, 2,…,63, 65…79,81,…95, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 117 равна 5130, и среди этих 100 чисел есть ровно 3 числа, кратные 16.

Ответ:

а) Не может
б) Не может
в) Три числа.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
+7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Узнать больше

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

Уравнения (задача 13)

Стереометрия (задача 14)

Неравенства (задача 15)

Геометрия (задача 16)

Финансовая математика (задача 17)

Параметры (задача 18)

Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Как пользоваться?

Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.

Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.

Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!

Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.

Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.