Условие задачи
Четырёхзначное натуральное число делится на 4, а сумма цифр этого числа равна произведению его цифр.
а) Может ли ровно одна из цифр этого числа не быть единицей?
б) Может ли ровно одна из цифр этого числа быть единицей?
в) Найдите все такие числа.
Решение
Пусть \( A=\overline{abcd}, \ A\vdots 4, \ a+b+c+d=abcd.\)
Заметим, что среди цифр числа \(A\) нет нулей. Иначе произведение цифр было бы равно нулю.
а) Предположим, что среди цифр числа \(A\) ровно 3 единицы.
Пусть все цифры числа \(A\), кроме одной, – единицы. Например, \(a\neq 1, \ b=c=d=1.\)
Тогда \(a=a+3,\) и это невозможно.
б) Предположим, что только одна из цифр числа \(A\) равна единице, а другие не равны. Очевидно, \(d\neq 1\) (поскольку \(A⋮4\)).
Пусть \(a=1,\) тогда \(b\geq 2, \ c\geq 2, \ d\geq 2. \) Тогда \(b+c+d+1=bcd.\)
Выразив из этого равенства \(d\), получим: \(\displaystyle d=\frac{b+c+1}{bc-1}.\)
Поскольку \(2\leq d\leq 9, \ \displaystyle \frac{b+c+1}{bc-1} \geq 2.\)
Умножим обе части неравенства на \(bc-1>0\) и выразим из неравенства \(b\).
Получим: \(b\leq \displaystyle \frac{c+3}{2c-1}.\)
Мы знаем, что \(b\geq 2\). Это значит, что \(\displaystyle \frac{c+3}{2c-1}\geq 2.\)
Решив это неравенство, найдем, что \(b\leq \displaystyle \frac{5}{3}.\)
Это противоречит условию \(c\geq 2\) и означает, что в числе \(A\) не может быть ровно одной единицы.
в) Возможно ли, чтобы в числе \(A\) вообще не было единиц? Предположим, что
\(a\geq 2, \ b\geq 2, \ c\geq 2, \ d\geq 2.\) Из условия \(a+b+c+d=abcd\) получаем, что \(\displaystyle d=\frac{a+b+c}{abc-1}\geq 2. \)
Тогда \(a+b+c\geq 2abc-2\), отсюда \(\displaystyle b\leq \frac{a+c+2}{2ac-1}.\)
При этом \(b\geq 2\). Тогда
\(\displaystyle \frac{a+c+2}{2ac-1}\geq 2; \)
\(a+c+2\geq 4ac-2; \)
\(2\leq a\leq \displaystyle \frac{c+4}{4c-1}.\)
Из неравенства \(\displaystyle \frac{c+4}{4c-1}\geq 2\) получаем, что \(c+4\geq 8c-2,\ 7c\leq6;\ c<1\) – противоречие с условием. Значит, число \(A\) содержит ровно две единицы.
Пусть \(x\) и \(y\) – цифры числа \(A\), отличные от единиц.
\(x+y+2=xy\), тогда \(y=\displaystyle \frac{x+2}{x-1}=\displaystyle \frac{x-1+1+2}{x-1}=1+\displaystyle \frac{3}{x-1}.\)
И значит, \(x-1\) должно быть делителем числа 3. Это возможно, только если \(x=2\) или \(x=4\).
Если \(x=4\), то \(y=2\), и значит, число \(A\) составлено из цифр 1, 1, 2 и 4.
Поскольку \(A⋮4\), остается три варианта: 1124,4112 и 1412.
Ответ:
а) Нет.
б) Нет.
в) 1124, 4112 и 1412.
