Условие задачи
Прямая \(y=ax\) является касательной к графику функции \(y=x^{2}+1\), причем абсцисса точки касания меньше нуля. Найдите значение \(a\).
Решение
Запишем, при каких условиях прямая \(y=kx+b\) является касательной к графику функции \(y=f(x)\) в точке \(x_{0}\):
\(\left\{\begin{matrix}
f(x)=kx+b,\\
f'(x)=k.
\end{matrix}\right. \)
Условия касания прямой \(y=ax\) и параболы \(x^2+1\) в точке с абсциссой \(x_0:\)
\(\left\{\begin{matrix}
a=2x_0,\\
ax_0=x_{0}^2+1.
\end{matrix}\right. \)
Решая эту систему и принимая во внимание, что \(x_{0}<0\), имеем \(a=-2.\)
Ответ:
-2.
