Условие задачи
Найдите значение выражения \(x+\sqrt{x^2-4x+4 }\) при \(x\leq2\).
Решение
Вычислим значение выражения \(x+\sqrt{x^2-4x+4 }\) при \(x\leq2.\)
Выражение под корнем представляет собой полный квадрат:
\(x^2-4x+4=(x-2)^2. \)
Запомним, что \( \sqrt{a^2}= |a| .\)
В самом деле, по определению арифметического квадратного корня, \( \sqrt{a^2}\) — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен \(a^2 .\)
Оно равно \(a\) при \(a\geq 0\) и равно \(-a\) при \(a < 0\), т. е. \(|a|\). Мы получим: \(x+\sqrt{(x^2-4x+4 )} = x+|x-2|\), и у нас есть условие \(x\leq2.\)
Раскроем модуль. По определению модуля: \(\left| a\right|=\left\{\begin{matrix} a, \ если \ a\geq 0, \\ -a, \ если \ a< 0. \end{matrix}\right.\)
Если \(x\leq 2,\) то \(x-2\leq 0\) и \(| x-2 | = 2-x.\)
Получим: \(x + 2 - x = 2.\)
Ответ:
2.
