В 2018 году на ЕГЭ по математике появились задачи, напугавшие многих выпускников. «Это страшно, - говорили они после экзамена. - Никогда такого не было. Решить невозможно».
Конечно же, я сочувствую абитуриентам, для которых ЕГЭ – все-таки большой стресс. Экзамен – это испытание не только знаний, но и хладнокровия, и способности действовать в сложной ситуации. И может быть, сказать себе: «Да, задача необычная, но я знаю общий подход к решению таких задач – справлюсь и на этот раз».
Действительно ли настолько страшны были «банковские» задачи на ЕГЭ по математике 2018 года? Они своеобразны. Их невозможно решить без подготовки, без знания того, как вообще устроены задачи ЕГЭ на кредиты.
Запомним: есть всего два характерных типа «банковских» задач, или задач на кредиты.
1 тип. Выплаты кредита производятся равными платежами. Эта схема еще называется «аннуитет». К первому типу относятся также все задачи, где известны платежи (или дана закономерность именно для платежей).
2 тип. Выплаты кредита подбираются так, что сумма долга уменьшается равномерно. Это так называемая «схема с дифференцированными платежами». Ко второму типу относятся также задачи, где известна закономерность уменьшения суммы долга.
О двух схемах решения задач на кредиты – мой краткий теоретический материал.
Более подробно я рассказываю теорию и решаю такие задачи на своих мастер-классах и интенсивах. Чтобы узнать о них, подпишись на нашу рассылку.
Посмотрим с этой точки зрения на «банковские» задачи ЕГЭ-2018.
1. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей?
Решение:
Прежде всего, введем переменные. Расчеты будем вести в тысячах рублей.
Пусть \(S\) – сумма, которую планируется взять в кредит;
\(Z\) – общая сумма выплат, \(Z=1604\) (тыс. рублей);
\(X\) - ежемесячное уменьшение суммы долга, \(X=30\) (тысяч рублей);
\(p=3\)% - процент, начисляемый банком ежемесячно.
После первого начисления процентов сумма долга равна \(S\cdot \left (1+ \displaystyle\frac{p}{100}\right) = S\cdot k.\) После каждого начисления процентов сумма долга увеличивается в \(k = 1+ \displaystyle\frac{p}{100} \) раза. В нашей задаче \(k=1,03\).
Определим, к какому типу относится задача. Долг уменьшается равномерно (по условию, 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца). Значит, это задача второго типа. А в задачах второго типа мы рисуем следующую схему:
После первого начисления процентов сумма долга равна \(kS\). Затем, после первой выплаты, сумма долга равна \(S – X\), где \(X = 30\) (тысяч рублей).
Значит, первая выплата равна \(kS – (S – X)\) (смотри схему).
Вторая выплата: \(k (S – X ) – ( S – 2X).\)
\(…\)
Последняя выплата: \(k ( S – 20 X).\)
Найдем общую сумму выплат \(Z\):
\(Z = kS – (S – X) + k (S – X ) – ( S – 2X) + … + k ( S – 20X) =\)
\(= k ( S + S – X + S – 2X + … + S – 20 X) – ( S – X + S – 2X + … + S – 20X).\)
Мы сгруппировали слагаемые, содержащие множитель \(k\), и те, в которых нет \(k\).
Упростим выражения в скобках:
\(k (21S – X (1 + 2 + 3+ … + 20)) – (20S – X (1 + 2 + 3+ … + 20)) = Z.\)
В задачах этого типа (когда сумма долга уменьшается равномерно) применяется формула для суммы арифметической прогрессии: \(S_n=\displaystyle \frac{(a_1+a_n)}{2}\cdot n. \)
В этой задаче мы тоже ее используем:
\(1 + 2 + 3+ ... + 20 = \displaystyle \frac{1+20}{2}\cdot 20 = 210. \)
Получим:
\(k (21 S – 210X ) – 20 S + 210 k = S (21k – 20) – 210 X (k-1) = Z.\)
Осталось подставить числовые значения:
\(S ( 21⋅ 1,03 – 20) – 210 ⋅ 30 ⋅ 0,03 = 1604.\)
Отсюда \(S = 1100\) тысяч рублей \(= 1 100 000\) рублей.
Следующая задача относится к тому же типу. Математическая модель та же самая. Только найти нужно другую величину – процент, начисляемый банком. К тому же количество месяцев, на которое взят кредит, неизвестно.
2. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 1 000 000 рублей на \((n+1)\) месяц. Условия его возврата таковы:
—1-го числа каждого месяца долг возрастает на \(r\) % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по \(n\)-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа \(n\)-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;
— к 15-му числу \((n + 1)\)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите \(r\), если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.
Решение:
Как всегда, введем обозначения. Для удобства ведем расчеты в тысячах рублей.
\(S = 1000000\) рублей \(= 1000 \) (тыс. рублей) – сумма кредита;
\(X= 40\) (тыс. рублей) – ежемесячное уменьшение суммы долга;
\(Z = 1378\) (тыс. рублей) – общая сумма выплат;
\(k = 1+ \displaystyle \frac{r}{100 }\) - коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов.
Рисуем уже знакомую схему погашения кредита:
Первая выплата: \(kS – (S – X).\)
Вторая выплата: \(k (S – X ) – ( S – 2X).\)
\(…\)
Последняя выплата: \(k ( S – n X).\)
По условию, 15-го числа \(n\)-го месяца долг составит 200 тысяч рублей.
Значит, \(S – nX = 200.\) Подставим числовые данные:
\(1000 – 40 n = 200;\) тогда \(n = 20, \; n + 1 = 21,\) то есть кредит был взят на 21 месяц. Очень удобно – количество месяцев в этой задаче оказалось таким же, как в предыдущей. Поэтому очень кратко повторим основные моменты решения
Общая сумма выплат \(Z\):
\(Z = kS – (S – X) + k (S – X ) – ( S – 2X) + … + k ( S – X) =\)
\(= k ( S + S – X + S – 2X + … + S – 20 X) – ( S – X + S – 2X + … + S – 20X) =\)
\(= k (21S – X (1 + 2 + 3+ … + 20)) – (20S – X (1 + 2 + 3+ … + 20)) =\)
\(= k (21 S – 210X ) – 20 S + 210 k = S (21k – 20) – 210 X (k-1).\)
Мы снова использовали ту же формулу для суммы арифметической прогрессии:
\(1 + 2 + 3+ ... + 20 =\displaystyle \frac{1+20}{2}\cdot 20 = 210. \)
По условию, \(Z = 1378\) (тыс. рублей).
Выразим \(k\) из формулы \(S (21k – 20) – 210 X (k-1) = Z:\)
\(k=\displaystyle \frac{Z+20S-210X}{21(S-10X)}.\)
Подставим данные из условия задачи.
\(k =\displaystyle \frac{ 1378 + 20\cdot 1000-210\cdot 40 }{21 \cdot (1000-10\cdot 40)} = 1,03. \)
Ответ: \(r = 3\)%.
Третья задача из числа «кошмаров» ЕГЭ-2018 по математике. Та же схема!
3. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 300 тысяч рублей на 21 месяц. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;
— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.
Решение:
Тоже задача второго типа – есть информация об уменьшении суммы долга. Точно также будем вести расчеты в тысячах рублей.
Как всегда, введем обозначения. Для удобства ведем расчеты в тысячах рублей.
\(S = 300\) (тыс. рублей) – сумма кредита,
\(n = 21\) – количество месяцев,
\(r = 2\)%; \(k = 1+ \displaystyle \frac{r}{100 }= 1,02\),
\(X\) – ежемесячное уменьшение суммы долга,
\(Z\) – общая сумма выплат.
Рисуем ту же схему, что и в предыдущей задаче. По условию, 15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тысяч рублей.
Значит, \(S – 20 X = 100.\) Подставив данные из условия, найдем, что \(X = 10.\)
Точно так же считаем сумму выплат (смотри задачи 1 и 2).
\(Z = S (21k – 20) – 210 X (k-1).\)
Подставляем данные из условия: \(Z = 300 (21 ⋅ 1,02 – 20) – 210 ⋅ 10 ⋅ 0,02 = 384\) (тыс. рублей).
Ответ: 384000 рублей.
Хочешь узнать решения всех сложных задач ЕГЭ? Подпишись на нашу рассылку.
