Видеоразбор: https://www.youtube.com/watch?v=z9Ou_z7x8C0&t=4552s\&t=1s и https://www.youtube.com/watch?v=vdzNSD07n1A&t=8s\&t=6703s
Часть 1. Задания с кратким ответом
1. Анна Малкова
Четырехугольник ABCD с равными углами BCD и DAB вписан в окружность, AB = 14, AD = 48, CD = 40. Найдите BC.
2. Анна Малкова
Снеговик собран из трех снежных шаров, поставленных друг на друга, причем их радиусы относятся как 5 : 3 : 2, а высота снеговика равна 1,5 метра. Найдите массу снеговика (в кг). Шары считать идеальными, число \(\pi \) принять равным 3,14, плотность снега - равной 400 кг/м³. Ответ округлить до целого числа килограммов, объемом морковки пренебречь.
3. Александра Антонова
В шкафу Деда Мороза вперемешку лежат все его 9 шапок, а также случайно оказавшаяся там шапочка Снегурочки. 31 декабря Дед Мороз, опаздывая на детский утренник, наугад надевает первую попавшуюся шапку. Найдите вероятность того, что он возьмет не свою шапку.
4. Татьяна Сиротина
У Пятачка есть три воздушных шарика: синий, зеленый и желтый.
Винни-Пух просит у него синий шарик и за это обещает угостить мёдом. Ослик Иа хочет зеленый и за это обещает спеть песенку, причем шарики других цветов Пуху и Ослику не подойдут. Кролик готов сказать «спасибо» за шарик любого цвета.
Известно, что Винни-Пух с вероятностью 0,7 сам съест весь мёд, а ослик Иа с вероятностью 0,4 не захочет петь, получив шарик. Пятачок отправил по почте каждому из друзей по шарику, но при этом забыл, кому какого цвета нужен шарик. Найдите вероятность, того, что все друзья Пятачка выполнят свои обещания.
5. Анна Малкова
Решите уравнение: \({\pi }^{{cos \pi x\ }}\)=1.
В ответе запишите наибольший отрицательный корень.
6. Анна Малкова
Вычислите: \(\displaystyle \frac{{sin (\frac{\pi }{2}+x)\ }+\sqrt{1-{{sin}^2 x\ }}}{{sin}^2x+{{cos}^3(\pi - x\ })+ctg(x+\ \frac{3\pi }{2})}\ \ \ \)при \(x\in (\frac{\pi }{2};\pi ).\)
7. Анна Малкова
На рисунке изображена часть графика производной функции \(y=f(x).\) В какой точке отрезка [-4; 5] функция \(y=f(x)\) принимает наибольшее значение?
8. ФИПИ
Груз массой 0,25 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону \(v(t)=1,6{cos \pi t\ },\) где \(t\)– время в секундах. Кинетическая энергия груза вычисляется по формуле \(\displaystyle E=\frac{mv^2}{2},\) где \(m\) – масса груза (в кг), \(v\) – скорость груза (в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее \(2,4\cdot {10}^{-1}\) Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.
9. Анна Малкова
В ожидании Нового Года Дед-Мороз и Санта Клаус затеяли гонки по круговой орбите вокруг Земли. Длина окружности, по которой они летают, составляет 33 тыс. км.
Первым стартует (на оленях) Санта Клаус. Через 30 часов из той же точки следом за ним вылетает (на тройке лошадей) Дед-Мороз. Через 10 часов после старта он в первый раз догоняет Санта Клауса, а еще через 44 часа догоняет во второй раз. Найдите скорость Деда Мороза. Ответ выразите в км/ч.
10. Анна Малкова
Графики функций \(y=\left|x-a\right|+c\) и \(y=kx+b\) пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.
11. ФИПИ
Найдите наименьшее значение функции \(y=-17-6,5\pi +26x-26\sqrt{2}{sin x\ \ }\) на отрезке \(\displaystyle [ 0;\frac{\pi }{2}].\)
Часть 2. Задания с развернутым ответом
12. Анна Малкова
а) Решите уравнение
\(\left ( \frac{{cos}^2 x}{2}+sin x+1 \right ) \sqrt{16-x^2}=0\)
б) Найдите все корни уравнения на отрезке \([ -4;0].\)
13. Анна Малкова
Отрезки AB и CD - диаметры верхнего и нижнего оснований цилиндра соответственно. Треугольники ABС и ABD равнобедренные (AB – основание).
а) Докажите, что AB перпендикулярен CD.
б) Найдите объем пирамиды ABCD, если AB = 8, AC = 13.
14. ФИПИ
Решите неравенство: \(\displaystyle {{log}_7 (2+\frac{2}{x})\ }-{{log}_7 (x+3)\ }\le {{log}_7 \frac{(6+x)}{x^2}\ }\)
15. Анна Малкова
Задумав разбогатеть, 10 декабря Валентина Петровна отправилась в банк и взяла в кредит 230 тысяч рублей на 49 месяцев. Условия возврата кредита следующие:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 9-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 10-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 10-е число предыдущего месяца.
Полученные деньги Валентина Петровна планирует в тот же день дать в кредит студенту Василию (испытывающему финансовые затруднения), а условия собирается поставить следующие:
- 10 декабря каждого следующего года долг увеличивается на 30%, после чего Василий передает Валентине Петровне очередной платеж.
- Кредит выплачивается двумя равными ежегодными платежами.
Какой будет прибыль Валентины Петровны, если студент Василий согласится на ее условия? Ответ выразите в тысячах рублей.
16. Анна Малкова
Боковая сторона AB трапеции ABCD перпендикулярна основаниям AD и BС. Из точки М, лежащей на стороне AB, опущен перпендикуляр МР на противоположную боковую сторону.
а) Докажите, что точки М, B, С и Р лежат на одной окружности.
б) Найдите площадь трапеции ABCD, если радиус вписанной в нее окружности равен 6,а отношение AР : DM = 3 : 5.
17. Анна Малкова
Дана система неравенств:
\(\left\{ \begin{array}{c}
9-y\le 2^{k+1} \\
y\le 9-2^k-\left|x\right| \\
4^k-5\cdot 2^k+4\le 0 \end{array}
\right.\)
а) Изобразите ее решение в координатах (x; у) при целых значениях k.
б) Найдите площадь полученной фигуры.
18. ФИПИ
За новогодним столом дети ели бутерброды и конфеты, причем каждый что-то ел, и может быть так, что кто-то ел и то и другое. Известно, что мальчиков, евших бутерброды, было не более чем 5/16 от общего числа детей, евших бутерброды, а мальчиков, евших конфеты, было не более 2/5 от общего числа детей, евших конфеты.
а) Могло ли за столом быть 13 мальчиков, если дополнительно известно, что всего за столом было 25 детей?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть за столом, если дополнительно известно, что всего за столом было 25 детей?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа детей без дополнительного условия пунктов а и б?
Посмотреть решения задач варианта 4.
