Видеоразбор: https://www.youtube.com/watch?v=Ry8KbpFfXmk\&t=12615s
Часть 1. Задания с кратким ответом
1. Анна Малкова
К окружности радиуса 1,2, вписанной в треугольник АВC, проведены касательные, причем длины отрезков ND = 1,5; EF = 2,5; МК = 1.
Найдите площадь шестиугольника NDEFKM.
2. Анна Малкова
В основании прямой треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) лежит треугольник со сторонами AB = 13, BC = 14, AC = 15, боковое ребро призмы равно 12. Найдите объем треугольной пирамиды \(A_1BCB_1.\)
3. Анна Малкова
Учебный курс по английскому языку включает 6 видеоуроков, причем переход к следующему уроку возможен только после просмотра предыдущих. Известно, что через месяц после старта курса первый урок посмотрели 100% обучающихся на курсе, второй — 64%, а каждый следующий — в 2 раза меньше учащихся, чем предыдущий. Найдите вероятность того, что случайно выбранный учащийся курса посмотрел все видеоуроки. Ответ запишите в виде десятичной дроби.
4. Татьяна Сиротина
Доля спама* в российском e-mail трафике составляет 75%. Почтовая программа распознает и отсеивает 95% этих писем. Однако по ошибке отсеивается также 1% нужной корреспонденции. Все остальные письма попадают в папку «Входящие».
С какой вероятностью письмо, попавшее в папку «Входящие», не является спамом? Результат округлите до сотых.
* - Спам - массовая рассылка корреспонденции рекламного характера лицам, не выражавшим желания её получить.
5. Татьяна Сиротина
Решите уравнение:
Если уравнение имеет несколько корней, в ответе запишите меньший корень.
\(9^x+9=2\cdot 3^{x+1}\)
6. Ольга Чемезова
Найдите значение выражения:
\(\displaystyle {15}^{\frac{1}{{{log}_7 15\ }}}+\left({{log}_4 3\ }+{{log}_4 8\ }\right)\cdot {{log}_{24} \frac{1}{16}\ }\)
7. На рисунке изображены график функции \(y = f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_0.\) Найдите значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_0.\)
8. ФИПИ
При температуре \(0\ {\rm{}^\circ\!C}\) рельс имеет длину \(l_0=10\) м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону \(l\left(t{}^\circ \right)=l_0\left(1+\alpha \cdot t{}^\circ \right),\) где \(\alpha =1,2\cdot {10}^{-5}\ {\left({\rm{}^\circ\!C}\right)}^{-1}\) — коэффициент теплового расширения, \(t{}^\circ \) — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.
9. Александра Антонова
Студент Василий и его друг Иван хотят создать совместный бизнес. Если Иван в качестве стартового капитала вложит в бизнес 40% имеющихся у него денег, а Василий — 45% своих денег, то общая сумма составит 43 тыс. рублей. Если же Иван внесет 45% имеющихся у него денег, а Василий — 40% своих денег, то общая сумма составит 42 тыс. рублей. Найдите, какой суммой денег располагает Василий. Ответ выразите в рублях.
10. На рисунке изображен график функции \(y={{log}_c \left({\left(x-a\right)}^2\right)\ }\)
Найдите у(19).
11. ФИПИ
Найдите наибольшее значение функции \(y={\left(x+30\right)}^2e^{-28-x}\) на отрезке \([-29;\ -27].\)
Часть 2. Задания с развернутым ответом
12. Александра Антонова
а) Решите уравнение \({cos}^2(\pi -\ x)\ +\ sin2x =\ 0\)
б) Найдите все его решения на отрезке [0; 3\(\pi \)].
13. Анна Малкова
В трапеции ABCD с большим основанием АD боковая сторона АВ перпендикулярна основаниям. В четырехугольной пирамиде SABCD все боковые грани наклонены к плоскости АВC под углом 45 градусов.
а) Докажите, что вершина S равноудалена от прямых АВ, ВC и CD.
б) Найдите объем пирамиды SABCD, если CD = 18, а расстояние от S до CD равно 6√2.
14. ФИПИ
Решите неравенство
\(\left(5\cdot {0,2}^{x+0,5}-0,2\cdot 5^{x+0,5}\right)\left({{log}^2_{0,2} \left(x+0,5\right)\ }-2{{log}_5 \left(x+0,5\right)\ }\right)\textgreater 0.\)
15. Александра Антонова
У столяра Джузеппе есть 185 поленьев. Из 7 поленьев он может сделать табурет, из 10 поленьев — стол, а из 20 поленьев — сундук. На рынке табурет можно продать за 8 монет, стол за 12 монет, а сундук за 25 монет. Джузеппе покупает поленья у лесорубов, а стоимость собственного труда не учитывает. Какое наибольшее количество монет может выручить Джузеппе при условии, что вся его продукция находит спрос?
16. Анна Малкова
Биссектриса АМ, высота BH и медиана СN остроугольного треугольника АВC пересекаются в одной точке, HC = 2АH, \(\displaystyle {sin \angle BAM\ }=\frac{1}{\surd 5}.\)
а) Докажите, что CМ \(\textless \) 2 BМ.
б) Найдите BМ, если АB = 10.
17. При каких значениях параметра р система уравнений
\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{c}
\frac{2}{3}\sqrt{{\left(y-3\right)}^2}=\sqrt{x^2}-\frac{1}{3} \\
\sqrt{{\left(y-3\right)}^2}=\frac{2}{3}\sqrt{x^2}+\frac{1}{3} \\
x^2+y^2=p-9+6y \end{array}
\right. \)
имеет ровно 4 решения?
18. ФИПИ
На доске написаны все пятизначные числа, в десятичной записи которых по одному разу встречаются цифры 4, 5, 6, 7 и 8 (45678, 45687 и т. д.).
а) Есть ли среди них число, которое делится на 55?
б) Есть ли среди них число, которое делится на 505?
в) Найдите наибольшее из этих чисел, делящееся на 11.
Посмотреть решения задач варианта 5.
