previous arrow
next arrow
Slider

ЕГЭ-2022 Вариант 6

Вариант 6

Видеоразбор: https://www.youtube.com/watch?v=vHRkJiQvnIw\&t=11679s

Часть 1. Задания с кратким ответом

1. Татьяна Сиротина

Решите уравнение:

{\left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)}^{-x^2-\displaystyle \frac{3}{2}}=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4^x}

 

2. Арлен Близаров

Каждый вечер Хуан Гарсия играет на гитаре под окном неприступной красавицы Сесилии Кончиты. Вероятность того, что она в знак любви бросит ему красную розу, равна 0,1 в отдельно взятый вечер. Какие шансы, что Хуан Гарсия завоюет сердце Сесилии Кончиты, если её соседи согласны терпеть его бренчание только четыре вечера?

 

3. Анна Малкова В прямоугольном треугольнике АВС катеты АС и ВС равны \sqrt{6} и 2\sqrt{3} соответственно. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

 

4. Анна Малкова

Вычислите: \sqrt{{1013}^2-16{\cdot 253}^2}

 

5. Анна Малкова

Найдите объем детали, изображенной на рисунке, если диаметр основания цилиндра равен 10, высота равна \displaystyle \frac{4}{\pi }, а диаметр цилиндрического отверстия равен 4.

 

6. Анна Малкова

Прямая y=7x+b касается графика функции f\left(x\right)=2x^3-x^2+3x-4, причем абсцисса точки касания положительна. Найдите b.

7. ФИПИ

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f=30\ см.

Расстояние d_1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние d_2 от линзы до экрана — в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение \displaystyle \frac{1}{d_1 }+\displaystyle \frac{1}{d_2 }=\displaystyle \frac{1}{f} Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чётким. Ответ выразите в сантиметрах.

 

8. Александра Антонова

Василий поссорился с Машей, и они с одинаковыми скоростями пошли по улице в противоположных направлениях. Через 10 минут Василий повернул назад и, увеличив скорость в три раза, стал догонять Машу (чтобы помириться). Через сколько минут Василий догнал Машу?

 

9. Графики функций \ f\left(x\right)=3{\left(x+1\right)}^2 и g(x) пересекаются в точках А и В. По данным рисунка найдите абсциссу точки В.

 

10. Татьяна Сиротина

Барон Мюнхгаузен в 80% случаев рассказывает небылицу. Если его рассказ — выдумка, то в 60% случаев ему не верят. А, если его рассказ правдив, то ему верят в 95% случаев.

Однажды Барон рассказал историю о том, как он первый раз влюбился. Слушатели не поверили. С какой вероятностью эта история была правдой? Ответ округлите до сотых.

 

Часть 2. Задания с развернутым ответом

12. Анна Малкова

а) Решите уравнение: 2{{sin^3 x\ }}^{\ }-5{sin x+3=cos^2 x\ }

б) Найдите все его корни на отрезке [-3\pi ; 1]

 

13. Анна Малкова

В треугольной пирамиде АВСS с вершиной S боковые ребра равны 12, углы АSB и ВSC равны 45{}^\circ, угол ASC равен 60{}^\circ.

Точки Е, F, K лежат на ребрах AS, BS, CS так, что SE = 6, SF = 8, SK = 4.

а) Докажите, что плоскость EFK делит пирамиду на многогранники, объемы которых относятся как 1 : 8.

б) Найдите угол между плоскостями SFE и SFK. Ответ запишите в градусах.

 

14. ФИПИ

Решите неравенство:

{{log}_3 \displaystyle \frac{1}{x}\ }+{{log}_3 \left(x^2+3x-9\right)\le {{log}_3 \left(x^2+3x+\displaystyle \frac{1}{x}-10\right).\ }\ }

 

15. В 2015 году Федор взял в кредит сумму S на 6 лет под 25% годовых, причем вначале банк начисляет проценты, затем Федор переводит в банк определенную сумму денег. По условиям кредита, в 2016, 2017, 2018 и 2019 годах после очередной выплаты сумма долга ежегодно уменьшается на 1/10 первоначальной величины, выплаты 2020 и 2021 годов равны. Всего Федор выплатил 250 тысяч рублей. Найдите S.

 

16. ФИПИ

Точка A расположена вне квадрата KLMN с центром O, причём треугольник KAN прямоугольный (\angle A=90^\circ) и AK=2AN. Точка B — середина стороны KN.

а) Докажите, что прямая BM параллельна прямой AN.

б) Прямая AO пересекает сторону ML квадрата в точке P, LP = 2. Найдите PM.

 

17. МГУ

При каких значениях параметра а система уравнений

\left\{ \begin{array}{c}y^2-\left(2a+1\right)y+a^2+a-2=0 \\\sqrt{{\left(x-a\right)}^2+y^2}+\sqrt{{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2}=3 \end{array}\right.

имеет единственное решение?

 

18. Студент Василий выбирает для Маши букет в День Святого Валентина. Красная роза стоит 220 рублей, розовая 190 рублей. Василий хочет, чтобы число розовых и красных роз в букете отличалось не больше, чем на 3. Всего у Василия с собой 2900 рублей.

а) Может ли Василий купить для Маши 11 роз?

б) Может ли Василий купить букет из 15 роз?

в) Какое наибольшее количество роз может быть в букете, если это число нечетно?

Посмотреть решения задач варианта 6.