Часть 1. Задания с кратким ответом
Видеоразбор: https://www.youtube.com/watch?v=lFgpirr4MRI\&t=10s
1. Александра Антонова
В окружности точка С делит хорду на два отрезка длиной 7 см и 8 см. Найдите расстояние от точки С до центра окружности, если радиус окружности равен 9 см.
2. Анна Малкова
Найдите объем усеченного конуса, высота которого равна \(\displaystyle \frac{8}{\pi }\), радиус большего основания равен 9, радиус меньшего основания равен 3.
3. Анна Малкова Перед 8 марта кондитерская «Тортец», находящаяся в городе N, надеется увеличить продажи тортов, для чего дает рекламу на городском телеканале, в газете города N и на сайте объявлений города.
Известно, что рекламу на телеканале увидят 10% жителей города N, рекламу на сайте объявлений — 20% жителей, а рекламу в газете увидят 5% жителей города. С какой вероятностью житель города N увидит рекламу кондитерской «Тортец»?
4. Татьяна Сиротина
Стрелок делает 5 выстрелов по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,5. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена более двух, но менее пяти раз. Результат округлите до сотых.
5. Решите уравнение:\(\ \ \ \ \ \displaystyle \frac{2x-3}{7x-3}=\ \displaystyle \frac{2x-3}{13x+4}\)
6. Анна Малкова
Вычислите: \(\displaystyle \frac{7 cos \left ( \frac{3 \pi}{2} -x \right ) - 2 sin \left ( -5 \pi - x \right )}{sin \left ( 2022 \pi +x \right )}.\)
7. Анна Малкова
На рисунке изображён график функции \(y\ =\ F(x)\) — одной из первообразных функции \(f(x),\) определённой на интервале \((-11;\ 11).\)
Найдите количество точек, принадлежащих интервалу \((-11;\ 11)\), в которых функция \(y\ =\ f(x)\) меняет знак с положительного на отрицательный.
8. ФИПИ
Два тела массой m = 2 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью v = 10 м/с под углом друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении определяется выражением \(mv^2 sin^2 \alpha \geq 100.\). Под каким наименьшим углом (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 100 джоулей?
9. Анна Малкова
Из пункта А выехал автомобиль «Ока». В тот же момент из пункта В навстречу ему выехал автомобиль «Пежо» со скоростью на 35 км/ч большей, чем у «Оки», и через 5 часов проехал мимо «Оки». Через час после выезда «Оки» из пункта А стартовал автомобиль «Лада Калина» со скоростью на 4 км/ч большей, чем у «Оки», и достиг пункта В одновременно с «Окой». Найдите скорость автомобиля «Ока». Ответ выразите в км/ч.
10. ФИПИ
На рисунке изображён график функции вида \(f\left(x\right)=\displaystyle \frac{x^2}{a}+bx+c,\ \)где числа a, b и c — целые. Найдите значение \(f\left(13\right).\)
11. ФИПИ
Найдите наибольшее значение функции \(y=-\displaystyle \frac{2}{3}x\sqrt{x}+3x+1\ \) на отрезке \(\left[1;9\right].\)
Часть 2. Задания с развернутым ответом
12. а) Решить уравнение:
\(3{\ sin}^3x-4{sin x+2\sqrt{3}\ }=2\sqrt{3}{cos}^2x\)
б) Найти все корни на промежутке \(\left[0;\ \displaystyle \frac{\pi }{2}\right]\).
13. В основании прямой призмы ABCA\({}_{1}\)B\({}_{1}\)C\({}_{1}\) лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, равной 8√2. Высота призмы равна 6.
а) Докажите, что плоскость, содержащая прямую AC\({}_{1}\) и параллельная прямой CB\({}_{1}\) проходит через середину ребра A\({}_{1}\)B\({}_{1}\).
б) Найдите косинус угла между прямыми AC\({}_{1}\) и CB\({}_{1}\).
14. Александра Антонова
Решите неравенство:
\({log}_3\left(3^x-1\right)\cdot {log}_{\displaystyle \frac{1}{3}}\left(3^{x+1}-3\right)\textgreater -2\)
15. Александра Антонова
В июле 2022 года Григорий планирует взять кредит в банке на 2,5 млн рублей. Условия его возврата такие:
- в январе 2023, 2024, 2025, 2026, 2027 годов долг возрастает на 12% по сравнению с концом предыдущего года;
- в январе 2028, 2029, 2030, 2031, 2032 годов долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю 2032 года долг должен быть полностью погашен;
Чему равно r, если общая сумма выплат составит 4 млн рублей?
16. Анна Малкова
В остроугольном треугольнике АВС угол В больше, чем угол А. Точка М — середина стороны АС, точка О — центр окружности, описанной вокруг треугольника АВС, СН — высота.
а) Докажите, что треугольники АОМ и СВН подобны.
б) Известно, что в треугольнике АВС углы А, В и С относятся как 3 : 4 : 5. Луч СО пересекает сторону АВ в точке L, причем BL = \(\sqrt{6\ }\). Найдите CL.
17. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система
\(\left\{ \begin{array}{c}
y\left(y+1\right)\le 0 \\
3x^2+3y^2-6a\left(x+y\right)+5a^2-6x+4a+3=0 \end{array}
\right.\)
имеет единственное решение.
18. Множество чисел назовем хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
а) Является ли множество {200; 201; 202; . . . ; 299} хорошим?
б) Является ли множество \(\left\{2;4;8;\dots ;2^{100}\right\}\) хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества \(\left\{1;2;4;5;7;9;11\right\}\)?
Посмотреть решения задач варианта 7.
