Видеоразбор: https://www.youtube.com/watch?v=2Bzd19z5UTA
Часть 1. Задания с кратким ответом
1. Анна Малкова
Четырехугольник АBCD с прямым углом B описан вокруг окружности, его диагональ АC равна 13. Известно, что АB = 5, CD = 16. Найдите AD.
2. Ольга Чемезова
В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\ \ CC_1=2,\ \ AD=4\sqrt{5},\ \ \ AB=2\sqrt{5}.\)
Найдите \(tg\ \angle C_1AC.\)
3. Анна Малкова
Студент Василий работает репетитором по математике. Он надеется, что хоть кто-нибудь из его учеников получит на ЕГЭ не меньше 90 баллов. Василий считает, что из его учеников на это способны четверо. Люба может получить не меньше 90 баллов с вероятностью 0,9. Антон может получить такой результат с вероятностью 0,7; Марина с вероятностью 0,5 и Костя с вероятностью 0,4. С какой вероятностью надежды Василия сбудутся?
4. Анна Малкова
Студент Василий видит во сне, что только один из его учеников получил результат не меньше 90 баллов (он не понимает, кто именно). Он помнит, что Люба может получить не меньше 90 баллов с вероятностью 0,9. Антон может получить такой результат с вероятностью 0,7; Марина с вероятностью 0,5 и Костя с вероятностью 0,4. С какой вероятностью это была Люба? Ответ округлите до сотых.
5. Решите уравнение \(\sqrt{2x-3}=x-3.\)
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите наименьший из корней.
6. Ольга Чемезова
Вычислите: \({{log}_2 \left(17+{{log}_5 0,2}\right)}\)
Ответ: 4
7. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней.
8. Катер должен пересечь реку шириной \(L=75\ \) м и со скоростью течения u = 0,5 м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением \(t=\displaystyle \frac{L}{u}ctg\ \alpha ,\ \) где \(\alpha \)— острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом \(\alpha \) (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 150 с?
9. Татьяна Сиротина
В солнечный весенний день сидящая на высокой травинке бабочка заметила, что в 20 метрах от нее находится прекрасная роза. Бабочка полетела к розе, но через 5 метров налетел встречный ветерок и замедлил ее полет. Какой была вначале скорость бабочки, если скорость ветерка 2 м/с, а путь от травинки до розы занял 6 секунд? Ответ дайте в метрах в секунду.
10. На рисунке изображён график функции вида \(f(x) = kx+b + |cx - d| ,\) где числа a, b, c и d — целые. Найдите d при условии, что d \(\textgreater \) 0.
11. Ольга Чемезова
Найдите точку максимума функции
\(y={ln \left(5x+1\right)\ }-2x+3.\)
Часть 2. Задания с развернутым ответом
12. Анна Малкова
а) Решите уравнение:
\(\displaystyle \frac{2\left({{sin}^2 x-\sqrt{3}\ }\right)+{sin x\left(\sqrt{3}-4\right)\ }}{2{cos x-1\ }}=0\)
б) Найдите все решения уравнения на отрезке [-4\(\pi \); -2\(\pi \)].
13. Анна Малкова
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка М — середина SA, N середина — SB, K середина — AD.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MNK имеет пару равных сторон.
б) Найдите расстояние между прямыми МN и SD, если AВ = 3√2, высота пирамиды SABCD равна 4.
14. Решите неравенство \(9\cdot 2^{{{log}_3 \left(5-x\right)\ }}+2^{1+{{log}_3 x\ }}-2^{{{log}_3 \left(5x-x^2\right)\ }}\le 18.\)
15. Ольга Чемезова
В марте 2017 года Иван взял кредит в банке. Банк в декабре каждого года начисляет 20% на оставшуюся сумму долга, затем необходимо выплатить часть долга. В марте 2018 года Иван оплатил только начисленные проценты. В марте 2019 года Иван оплатил половину долга, имеющегося на тот момент. В марте 2020 года он погасил долг полностью. Найдите сумму кредита, выданного Ивану, если общая сумма выплат составила 5,32 млн. руб.
16. Анна Малкова В треугольнике АBC угол C — прямой, K — середина АC, O — середина АB, прямая m проходит через точку B перпендикулярно АВ и пересекает прямую ОK в точке N. а) Докажите, что четырехугольник АNBK можно вписать в окружность. б) Отрезки CN и АB пересекаются в точке Q. Найдите ВQ : QО, если АC = 6, ВC = 8.
17. Найдите все положительные значения а, при которых линии \(y = a |x - 3,5 |+ a - 2\) и \(y = \displaystyle \frac{a}{2}\) ограничивают многоугольник, площадь которого не более 0,5.
18. В наборе 70 гирек массой 1, 2, ..., 70 граммов. Их разложили на две кучки так, что в каждой кучке есть хотя бы одна гирька. Потом из второй кучки переложили одну гирьку в первую кучку. В результате средняя масса гирек в первой кучке увеличилась ровно на один грамм.
а) Могла ли первая кучка (до перекладывания) состоять из гирек с весами 11 г, 15 г, 19 г?
б) Мог ли средний вес гирек в первой кучке до перекладывания равняться 9,5 грамма?
в) Какое максимальное количество гирек могло быть первоначально в первой кучке?
Посмотреть решения задач варианта 9.
