Видеоразбор: https://www.youtube.com/watch?v=z9Ou_z7x8C0&t\&t=4552s
и https://www.youtube.com/watch?v=vdzNSD07n1A&t\&t=8s
Часть 1. Задания с кратким ответом
1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а один из острых углов равен 15 градусов. Найти высоту, проведенную из вершины прямого угла.
2. Вектор \( \overrightarrow{AB}\) с началом в точке A(14, -1) имеет координаты (8, 1). Найдите ординату точки B.
3. Анна Малкова
У Валентины Петровны есть два ведра для поливки огорода: одно цилиндрическое, другое в форме конуса. Радиус окружности конуса и радиус цилиндрического ведра одинаковы, а еще у цилиндрического ведра высота в 2 раза больше, чем у ведра в форме конуса. Во сколько раз больше воды помещается в цилиндрическое ведро?
4. Анна Малкова
В морской экскурсии участвуют 16 туристов, в том числе Андрей и Наташа. В каждой лодке 4 места для туристов, места в лодках распределяются случайным образом. С какой вероятностью Андрей и Наташа окажутся в одной лодке?
5. Анна Малкова
С какой вероятностью в случайно выбранном месяце високосного года будет 5 воскресений? Ответ округлите до сотых.
6. Анна Малкова
Решите уравнение: \(\sqrt[]{24-5x}=-x\).
Если уравнение имеет несколько корней, в ответе запишите больший корень.
7. Внесите под корень и вычислите: \( (\sqrt{3}-2)\sqrt[]{7+4\sqrt{3}} \).
8. На рисунке изображен график функции \(f(x)\), определенной на отрезке
[-4,5; 3,5]. Найдите количество точек максимума функции \(f(x)\) на данном отрезке.
9. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Коля бросает небольшие камешки в колодец, измеряя время их падения, и рассчитывает расстояние до воды по формуле \( h=5t^2 \), где \( h \) — расстояние в метрах, \(t\) — время падения в секундах. До дождя камушки падали 1,6 с.
На сколько поднялся уровень воды после дождя, если измеряемое время уменьшилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.
10. Исаак Ньютон
Трава на всем лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров поели бы ее за 24 дня, а 30 коров – за 60 дней. Сколько коров поели бы всю траву за 96 дней? Предполагается, что коровы поедают траву равномерно.
11. Анна Малкова
На рисунке изображены графики функций \(f(x)=ax^2+bx+c\) и \(g(x)=kx+d\) пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
12. Анна Малкова
Найдите наименьшее значение функции \( y=x^2-6x+11 \) на отрезке \( [-1;1]. \)
Часть 2. Задания с развернутым ответом
13.
а) Решите уравнение \(2cos^2x+5sinx=5\)
б) Найдите все корни уравнения на отрезке \([-\frac{\pi}{2};2\pi].\)
14. Анна Малкова
В основании четырехугольной пирамиды \(SABCD\) лежит прямоугольник \(ABCD\), в котором \(AB = 4\), \(BD = 4\sqrt{2}\). Известно, что \(SB =\sqrt{11}\), \(SA = SC = 3\sqrt{3}\).
а) Докажите, что ребро \(SD\) перпендикулярно прямой \(AC\).
б) Найдите диаметр шара, описанного вокруг пирамиды \(SABCD\).
15. Решите неравенство: \(\left|x^2-2x\right|<\left|x+4 \right|\). 16. Гражданин положил в банк определенную сумму денег под фиксированный процент годового дохода. За первые два года сумма вклада возросла на 60 тысяч рублей, а за третий год – еще на 49 тысяч рублей. Какой была первоначальная сумма вклада? Ответ выразите в тысячах рублей. 17. Анна Малкова
Окружности с центрами \(O_{1}\) и \(O_{2}\) касаются внешним образом в точке \(K\). Прямая \(AB\) касается первой окружности в точке \(A\), а второй — в точке \(B\). На отрезке \(AB\) взята точка \(N\) так, что \(NK\) – общая внутренняя касательная к обеим окружностям.
а) Докажите, что углы \(O_{1}NO_{2}\) и \( AKB \) равны.
б) Пусть \( E \) – точка пересечения \( AK \) и \( O_{1}N \), \( F \) – точка пересечения \( BK \) и \( O_{2}N \), радиусы окружностей равны 8 и 2. Найдите \( EF \).
18. Анна Малкова
При каком значении параметра a система
\(\left\{ \begin{array}{c}
2\leq y \leq 2+\sqrt[]{6x-x^2-5} (1) \\
\sqrt[]{(x-1)^2+(y-a)^2}+\sqrt[]{(x-5)^2+(y-a)^2}=4 (2) \\
\sin \pi x=0 \\
\sin \pi y=0 \end{array}
\right.\)
имеет наибольшее количество решений? Найдите эти решения.
19. В живом уголке четыре ученика кормят кроликов. Каждый кормит нескольких (хотя бы одного) кроликов, но не всех. Первый ученик дает порцию по 100 грамм, второй – по 200 г, третий – по 300 г., а четвертый – по 400 г.
а) Может ли оказаться, что кроликов было 15 и все они получили одинаковое количество корма?
б) Может ли оказаться, что кроликов было 15 и все они получили различное количество корма?
в) Какое наибольшее количество кроликов могло быть в живом уголке, если каждый ученик насыпал корм ровно четырем кроликам и все кролики получили разное количество корма?
Посмотреть решения задач варианта 1.
