ЕГЭ-2023 Вариант 5

Видеоразбор: https://www.youtube.com/watch?v=jvXj7e6TfHE;t\&t=1s
и https://www.youtube.com/watch?v=-OLWM0opafc&t;t\&t=6s

Часть 1. Задания с кратким ответом

1. Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность с диаметром $AC = 10$ , сторона $AB$ равна 8. Найдите тангенс угла $BDC$ .

2. Анна Малкова

Найдите объем восьмигранника, изображенного на рисунке, если $ABCD$ – квадрат со стороной 5, $O$ – точка пересечения его диагоналей, отрезок $EF$ перпендикулярен плоскости $ABC$ , $OE = OF = 6$ .

3. За наблюдаемый период на 90% всех дней приходилась ясная погода. Гидрометцентр в тот же период предсказывал верную погоду в 74 случаях из 100, причем в 80% всех случаев, когда на день приходилась ясная погода, предсказания Гидрометцентра сбывались. Сколько процентов среди пасмурных дней составляют те, в которых Гидрометцентр предсказал правильную погоду?

4. За наблюдаемый период на 90% всех дней приходилась ясная погода. Гидрометцентр в тот же период предсказывал верную погоду в 74 случаях из 100, причем в 80% всех случаев, когда на день приходилась ясная погода, предсказания Гидрометцентра сбывались. С какой вероятностью погода оказалась пасмурной в тот день, когда Гидрометцентр предсказал пасмурную погоду?

5. Решите уравнение: $4x^2+12x+\frac{12}{x}+\frac{4}{x^2}=47$ .
Если корней несколько, в ответе запишите сумму корней.

6. Вычислите: $\frac{-2cos276^{\circ}}{cos84^{\circ}}$ .

7. На рисунке изображен график непрерывной функции $f(x)$ и касательные $CD$ и $MN$ , проведенные к ее графику в точках $A$ и $B$ . Найдите отношение значений производной функции $f(x)$ в точках $A$ и $B$ .

8. Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону
$U=U_0sin(\omega t+\varphi )$ , где $t$ - время в секундах,амплитуда $U_0=2B$ , частота $\omega = 150^{\circ}$ ⁄с, фаза $\varphi = 45^{\circ}$ .
Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем 1 В, то загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

9. Кристалл, находясь в стадии формирования, равномерно наращивает свою массу. Наблюдая формирование двух кристаллов, заметили, что за год первый кристалл увеличил свою первоначальную массу на 4%, а второй на 5%, в то время как прирост массы первого кристалла за 3 месяца оказался равным приросту массы второго кристалла за 4 месяца. Какой была первоначальная масса первого кристалла, если известно, что после того как масса каждого из кристаллов увеличилась на 20 г, отношение массы первого кристалла к массе второго кристалла стало равно 1,5? Ответ выразите в граммах.

10. На рисунке изображен график функции $f(x)=ax^2+bx+c$ , где $a, b, c$ - целые.
Найдите $f(-10)$ .

11. Найдите точку максимума функции $y=(x^2-10x+10)e^{5-x}$ .

Часть 2. Задания с развернутым ответом

12. а) Решите уравнение: $cos 3x-2 cos 2x=2$

б) Найдите все корни уравнения на отрезке $[0; \pi].$

13. В основании прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит прямоугольный треугольник $ABC$ , у которого угол $C$ равен 90°, угол $A$ равен 30°, $AC = 10\sqrt{3}$ . Диагональ боковой грани $B_1C$ составляет угол 30° с плоскостью $AA_1B_1$ .
а)  $CE$ − высота треугольника $ABC$ . Докажите, что угол $B_1EC$ − прямой.
б) Найдите высоту призмы.

14. Решите неравенство: $9\cdot 2^{log_3(5-x)}+2^{1+log_3 x}-2^{log_3(5x-x^2)}\leqslant 18$ .

15. Анна Малкова

В марте 2001 года Антон открыл в банке счет под 5% годовых, с условием начисления процентов за каждый год нахождения денег на счете, и внес на этот счет 100 тысяч рублей.

Антон решил, что каждый год сумма на его счете должна увеличиваться на одну и ту же величину по сравнению с предыдущим годом, и неуклонно следовал этому правилу. Для этого в некоторые годы он добавлял деньги на счет сразу после начисления процентов, а в некоторые – снимал со счета сразу после начисления процентов.

В марте 2021 года, после очередного начисления процентов и соответствующих действий Антона, на счете было ровно 300 тысяч рублей. Обозначим $S_1$ – сумму, которую он за все эти годы дополнительно внес на счет, а $S_2$ – сумму, которую он за все эти годы снял со счета. Найдите разницу между $S_1$ и $S_2$ .

16. Высоты равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AC$ пересекаются в точке $H$ , угол $B$ равен 30 градусов. Луч $CH$ второй раз пересекает окружность $\omega$ , описанную вокруг треугольника $ABH$ , в точке $K$ .
а) Докажите, что $BA$ – биссектриса угла $KBC$ .
б) Отрезок $BC$ пересекает окружность $\omega$ в точке $E$ . Найдите $BE$ , если $AC = 12$ .

17. При каких значениях параметра $p$ уравнение

$5cos2x+\frac{2p}{sin x}+29=0$

имеет решения?

18. Возрастающие арифметические прогрессии $a_1, a_2, . . . ,an, . . .$ и $b_1, b_2, . . . , bn, . . .$ состоят из натуральных чисел.
а) Существуют ли такие прогрессии, для которых $a_1b_1 + a_3b_3 = 3a_2b_2$ ?
б) Существуют ли такие прогрессии, для которых $a_1b_1 + 2a_4b_4 = 3a_3b_3$ ?
в) Какое наибольшее значение может принимать произведение $a_3b_3$ ,
если $a_1b_1 + 2a_4b_4\leqslant 300$ ?

Посмотреть решения задач варианта 5.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «ЕГЭ-2023 Вариант 5» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 29.09.2023

ЕГЭ-2023 Вариант 5

Это полезно