Видеоразбор: https://www.youtube.com/watch?v=jvXj7e6TfHE;t\&t=1s
и https://www.youtube.com/watch?v=-OLWM0opafc&t;t\&t=6s
Часть 1. Задания с кратким ответом
1. Четырехугольник \(ABCD\) вписан в окружность с диаметром \(AC = 10\), сторона \(AB\) равна 8. Найдите тангенс угла \(BDC\).
2. На координатной плоскости изображены векторы \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\). Найдите скалярное произведение \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\).
3. Анна Малкова
Найдите объем восьмигранника, изображенного на рисунке, если \(ABCD\) – квадрат со стороной 5, \(O\) – точка пересечения его диагоналей, отрезок \(EF\) перпендикулярен плоскости \(ABC\), \(OE = OF = 6\).
4. За наблюдаемый период на 90% всех дней приходилась ясная погода. Гидрометцентр в тот же период предсказывал верную погоду в 74 случаях из 100, причем в 80% всех случаев, когда на день приходилась ясная погода, предсказания Гидрометцентра сбывались. Сколько процентов среди пасмурных дней составляют те, в которых Гидрометцентр предсказал правильную погоду?
5. За наблюдаемый период на 90% всех дней приходилась ясная погода. Гидрометцентр в тот же период предсказывал верную погоду в 74 случаях из 100, причем в 80% всех случаев, когда на день приходилась ясная погода, предсказания Гидрометцентра сбывались. С какой вероятностью погода оказалась пасмурной в тот день, когда Гидрометцентр предсказал пасмурную погоду?
6. Решите уравнение: \(4x^2+12x+\frac{12}{x}+\frac{4}{x^2}=47\).
Если корней несколько, в ответе запишите сумму корней.
7. Вычислите: \(\frac{-2cos276^{\circ}}{cos84^{\circ}}\).
8. На рисунке изображен график непрерывной функции \(f(x)\) и касательные \(CD\) и \(MN\), проведенные к ее графику в точках \(A\) и \(B\). Найдите отношение значений производной функции \(f(x)\) в точках \(A\) и \(B\).
9. Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону
\(U=U_0sin(\omega t+\varphi )\), где \(t\) - время в секундах,амплитуда \(U_0=2B\), частота \(\omega = 150^{\circ}\)⁄с, фаза \(\varphi = 45^{\circ}\).
Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем 1 В, то загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?
10. Кристалл, находясь в стадии формирования, равномерно наращивает свою массу. Наблюдая формирование двух кристаллов, заметили, что за год первый кристалл увеличил свою первоначальную массу на 4%, а второй на 5%, в то время как прирост массы первого кристалла за 3 месяца оказался равным приросту массы второго кристалла за 4 месяца. Какой была первоначальная масса первого кристалла, если известно, что после того как масса каждого из кристаллов увеличилась на 20 г, отношение массы первого кристалла к массе второго кристалла стало равно 1,5? Ответ выразите в граммах.
11. На рисунке изображен график функции \(f(x)=ax^2+bx+c\), где \(a, b, c\) - целые.
Найдите \(f(-10)\).
12. Найдите точку максимума функции \(y=(x^2-10x+10)e^{5-x}\).
Часть 2. Задания с развернутым ответом
13. а) Решите уравнение: \(cos 3x-2 cos 2x=2\)
б) Найдите все корни уравнения на отрезке \([0; \pi].\)
14. В основании прямой призмы \(ABCA_1B_1C_1\) лежит прямоугольный треугольник \(ABC\), у которого угол \(C\) равен 90°, угол \(A\) равен 30°, \(AC = 10\sqrt{3}\). Диагональ боковой грани \(B_1C\)составляет угол 30° с плоскостью \(AA_1B_1\).
а) \(CE\) − высота треугольника \(ABC\). Докажите, что угол \(B_1EC\) − прямой.
б) Найдите высоту призмы.
15. Решите неравенство: \(9\cdot 2^{log_3(5-x)}+2^{1+log_3 x}-2^{log_3(5x-x^2)}\leqslant 18\).
16. Анна Малкова
В марте 2001 года Антон открыл в банке счет под 5% годовых, с условием начисления процентов за каждый год нахождения денег на счете, и внес на этот счет 100 тысяч рублей.
Антон решил, что каждый год сумма на его счете должна увеличиваться на одну и ту же величину по сравнению с предыдущим годом, и неуклонно следовал этому правилу. Для этого в некоторые годы он добавлял деньги на счет сразу после начисления процентов, а в некоторые – снимал со счета сразу после начисления процентов.
В марте 2021 года, после очередного начисления процентов и соответствующих действий Антона, на счете было ровно 300 тысяч рублей. Обозначим \(S_1\) – сумму, которую он за все эти годы дополнительно внес на счет, а \(S_2\) – сумму, которую он за все эти годы снял со счета. Найдите разницу между \(S_1\) и \(S_2\).
17. Высоты равнобедренного треугольника \(ABC\) с основанием \(AC\) пересекаются в точке \(H\), угол \(B\) равен 30 градусов. Луч \(CH\) второй раз пересекает окружность \(\omega\), описанную вокруг треугольника \(ABH\), в точке \(K\).
а) Докажите, что \(BA\) – биссектриса угла \(KBC\).
б) Отрезок \(BC\) пересекает окружность \(\omega\) в точке \(E\). Найдите \(BE\), если \(AC = 12\).
18. При каких значениях параметра \(p\) уравнение
\(5cos2x+\frac{2p}{sin x}+29=0\)
имеет решения?
19. Возрастающие арифметические прогрессии \(a_1, a_2, . . . ,an, . . .\) и \(b_1, b_2, . . . , bn, . . .\) состоят из натуральных чисел.
а) Существуют ли такие прогрессии, для которых \(a_1b_1 + a_3b_3 = 3a_2b_2\)?
б) Существуют ли такие прогрессии, для которых \(a_1b_1 + 2a_4b_4 = 3a_3b_3\)?
в) Какое наибольшее значение может принимать произведение \(a_3b_3\),
если \(a_1b_1 + 2a_4b_4\leqslant 300\)?
Посмотреть решения задач варианта 5.
