Видеоразбор: https://www.youtube.com/watch?v=ToXqvgdB9Xo;t\&t=4552s
и https://www.youtube.com/watch?v=PoUcX5od-Oo&t;t\&t=1226s
Часть 1. Задания с кратким ответом
1. В прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом \(C\) вписана окружность, которая касается гипотенузы в точке \(E\). Известно, что \(AE=7\), \( BE = 4 \). Найдите площадь треугольника \(ABC\).
2. Даны векторы \(\overrightarrow{a}=(1; 2)\), \(\overrightarrow{b}=(-3; 6)\) и \(\overrightarrow{c}=(4; -2)\). Найдите длину вектора \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\).
3. Анна Малкова
В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) сумма квадратов сторон треугольника \(ACD_1\) равна 32. Найдите длину диагонали \(B_1D\).
4. Преподаватель пригласил на собеседование трех из отстающих студентов через старосту группы. Староста забыл фамилии приглашенных и направил случайно трех из шести отстающих. Какова вероятность того, что это были нужные преподавателю студенты?
5. Доля спама* в российском e-mail трафике составляет 75%. Почтовая программа распознает и отсеивает 95% этих писем. Однако по ошибке отсеивается также 1% нужной корреспонденции. Все остальные письма попадают в папку «Входящие».
Письмо оказалось в папке «Входящие». С какой вероятностью это не спам? Результат округлите до сотых.
* - Спам - массовая рассылка корреспонденции рекламного характера лицам, не выражавшим желания её получить.
6. Анна Малкова
Решите уравнение: \(2^{sin 2\pi x}=\frac{1}{2}\).
В ответе запишите наименьший положительный корень.
7. Найдите значение выражения: \(\sqrt{2}sin (\frac{\pi}{2}-arccos\frac{\sqrt{2}}{2})\).
8. На рисунке изображен график \(y=f'(x)\) - производной функции \(y=f(x)\). Сколько точек экстремума функции \(y=f(x)\) расположено на отрезке [-4; 2]?
9. В электрическом обогревателе с неизменным сопротивлением \(R\) нагревательного элемента, через который течёт постоянный ток, за время \(t\) выделяется количество теплоты \(Q=I^2 Rt\). Во сколько раз увеличится количество выделяемой теплоты, если силу тока \(I\) и время работы обогревателя \(t\) увеличить вдвое?
10. Анна Малкова
Задумав разбогатеть, Валентина Петровна открыла интернет-магазин сувениров, в котором продаются изделия двух типов: зайки и чебурашки.
В декабре было продано в 10 раз больше заек, чем чебурашек, а чебурашка стоил в 4 раза дороже, чем зайка.
В ночь на 1 января Валентина Петровна подняла цену на чебурашек на 20%.
Несмотря на это, в январе было продано в 10 раз больше чебурашек, чем заек.
А заек в январе было продано на 80% меньше, чем в декабре.
Во сколько раз выросла выручка Валентины Петровны в январе по сравнению с декабрем?
11. Анна Малкова
На рисунке изображен график функции \(y=|ax^2+bx+c|\).
Найдите \(c\), если известно, что \(c> 0\).
12. Найдите наименьшее значение функции \(y=(x+31)^2 e^{-31-x}\) на отрезке \([-34;-30]. \)
Часть 2. Задания с развернутым ответом
13. Дано уравнение \(|sin x| = cos x\)
а) Решите уравнение.
б) Найдите все корни уравнения на интервале \( [0; 2\pi]\).
14. Дана правильная четырёхугольная пирамида \(SABCD\). Tочка \(M\) – середина \(SA\), на ребре \(SB\) отмечена точка \(N\) так, что \(SN : NB = 1 : 2\).
а) Докажите, что плоскость \(CMN\) параллельна прямой \(SD\).
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью \(CMN\), если все рёбра равны 12.
15. Анна Малкова
Решите неравенство: \(\frac{log_3(7x-12)}{log_3(x-3)}\geqslant log_{15-x} |x-15|\).
16. В июле 2022 года планируется взять кредит на 600 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
- в январе 2023, 2024 и 2025 годов долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года:
- в январе 2026, 2027 и 2028 годов долг возрастает на \(r\)% по сравнению с концом предыдущего года;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года:
- к июлю 2028 года долг должен быть полностью погашен.
Чему равно \(r\), если общая сумма выплат составит 984 тыс. рублей?
17. Остроугольный треугольник \(ABC\), в котором \(AB < BC\), вписан в окружность с центром \(O\). Высота \(BH\) треугольника \(ABC\) пересекает описанную окружность в точке \(D\), \(AH : DH = 3 : 4\). а) Докажите, что медианы \(HK\) и \(OM\) треугольников \(ADH\) и \(OBC\) равны. б) Пусть \(BC:AD= 3: 2\). Найдите тангенс угла \(BAC\). 18. При каких неотрицательных значениях \(a\) функция \(f(x)=3ax^4-8x^3+3x^2-7\) на отрезке [-1; 1] имеет ровно одну точку минимума? 19. Дано квадратное уравнение \(ax^2+bx+c = 0\), где \(a\), \(b\) и \(c\) — натуральные числа, не превосходящие 100. Также известно, что числа \(a\), \(b\) и \(c\) попарно отличаются друг от друга не менее, чем на 2. а) Может ли такое уравнение иметь корень −7? б) Может ли такое уравнение иметь корень −53? в) Какой наименьший целый корень может иметь такое уравнение? Посмотреть решения задач варианта 6.
