Видеоразбор: https://www.youtube.com/watch?v=AMvW5A-ECW8;t\&t=1s
и https://www.youtube.com/watch?v=tWfY0Van104;t\&t=447s
Часть 1. Задания с кратким ответом
1. В равнобедренной трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\) через точку \(E\) пересечения диагоналей проведен отрезок \(PQ\), параллельный основаниям трапеции. Известно, что угол \(ABC\) равен \(120^{\circ}\), угол \(CBE\) равен \(30^{\circ}\). Найдите \(PQ\), если \(BC = 30\).
2. На координатной плоскости изображены векторы \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\). Найдите скалярное произведение векторов \(2\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\).
3. Анна Малкова
Задумав разбогатеть, Валентина Петровна завела кур и петуха. И снесла одна курочка яичко, не простое, золотое, в форме сплошного шара диаметром 6 см.
Договорившись со знакомым ювелиром, Валентина Петровна собирается переплавить золотое яичко на украшения-медальоны в форме круглых монеток радиусом 1,5 см и толщиной 2,5 мм каждая. Сколько золотых медальонов получится у Валентины Петровны, если ей удастся реализовать свой план?
4. Анна Малкова
При броске двух игральных кубиков на них выпало одинаковое количество очков. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков больше 7.
5. Анна Малкова
Найдите вероятность того, что при броске трех игральных кубиков только на двух из них количество очков будет одинаковым (а на третьем – другое, например, 414). Ответ округлите до сотых.
6. Анна Малкова
Решите уравнение: \(log_7(x^3-64x+49)=2\).
Если уравнение имеет несколько корней, в ответе запишите меньший из них.
7. Найдите значение выражения: \(\frac{cos10^{\circ}\cdot cos6^{\circ}-sin10^{\circ}\cdot sin6^{\circ}}{cos53^{\circ}\cdot cos37^{\circ}}\).
8. Анна Малкова
На рисунке изображен график \(y=f'(x)\) - производной функции \(y=f(x)\). На ее графике отмечены 8 точек. В скольких из них функция \(y=f(x)\) монотонно убывает? В ответе запишите количество таких точек.
9. Некоторая компания продаёт свою продукцию по цене \(p=400\) руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют \(v=200\) руб., постоянные расходы предприятия \(f=600 000\) руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле \(g(q)=q(p-v)-f\). Определите месячный объём производства \(q\) (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна \(900 000\) руб.
10. Каждая сторона основания пирамиды была уменьшена на 20%. На сколько процентов необходимо увеличить высоту пирамиды, чтобы ее объем остался неизменным?
11. Анна Малкова
На рисунке изображен график функции \(f(x)=Acos(b(x+c))\). Найдите \(c\).
12. Найдите наибольшее значение функции \(y=15x-3 sin x+5\) на отрезке \( [-\frac{\pi}{2};0]. \)
Часть 2. Задания с развернутым ответом
13.
а) Решите уравнение \((2sin x+\sqrt{3})\cdot \sqrt{cos x}=0\).
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([\frac{3\pi}{2};\frac{7\pi}{2}].\)
14. Анна Малкова
В основании пирамиды \(SABCD\) лежит трапеция \(ABCD\), такая, что \(AB=BC =CD=a\),
\(AD = 2a\), вершина \(S\) проецируется в середину отрезка \(AD\). Высота пирамиды равна \(SO=2\sqrt{2}a\).Сечение пирамиды проходит через прямую \(BC\) и точку \(M\) - середину ребра \(AS\).
а) Докажите, что диагонали сечения равны.
б) Найдите угол между прямыми \(BM\) и \(SD\).
15. Анна Малкова
Решите неравенство: \(\sqrt{\frac{\sqrt{x^2-6x+5}}{x-7}}\cdot (log_9(x-1)^2-2)\geqslant 0\).
16. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 300 тысяч рублей на 21 месяц. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;
— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.
17. Дана трапеция \(ABCD\) с основаниями \(BC\) и \(AD\). Окружность ω радиуса 2, центр \(O\) которой лежит на диагонали \(BD\), касается отрезков \(BC\), \(CD\) и \(AD\) в точках \(M\), \(N\), \(K\) соответственно. Известно, что \(BM=3\), а четырехугольник \(OBAK\) вписан в окружность.
а) Докажите, что \(CO\parallel AB\)
б) Найдите площадь трапеции \(ABCD\)
18. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(x^3+ax^2+13x-6=0\) имеет единственное решение?
19. Последовательность \(a_1, a_2, a_3, ...a_n, ... \) состоит из натуральных чисел, причём \(a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\) при всех натуральных \(n\).
a) Может ли выполняться равенство \(5a_5=9a_4\)?
б) Может ли выполняться равенство \(5a_5=7a_4\)?
в) При каком наименьшем натуральном \(n\) может выполняться равенство
\(3n\cdot a_{n+1}=(n^2-1)\cdot a_n\)
Посмотреть решения задач варианта 8.
