Теорема Менелая, теорема Чевы – нужны на ЕГЭ или нет?

Анна Малкова

Эти две полезные теоремы – теорема Менелая и теорема Чевы - чаще применяются при решении олимпиадных задач, чем на ЕГЭ по математике. Однако в 2020 году в ряде вариантов ЕГЭ обнаружилась задача по планиметрии (№16), которую на первый взгляд невозможно решить без теоремы Менелая или теоремы Чевы. Но на самом деле, конечно, возможно. Например, в Санкт-Петербурге попались такие задачи.

Разберемся, что это за теоремы и как применяются. И действительно ли на ЕГЭ дали задачи на применение теорем, выходящих за рамки школьной программы. И можно ли эти задачи решить по-другому?

Теорема Менелая:

Пусть прямая пересекает произвольный треугольник причем – точка ее пересечения со стороной – точка ее пересечения со стороной и – точка ее пересечения с продолжением стороны

Тогда выполняется равенство:

Как это запомнить? Сначала рисуем треугольник Затем прямую, пересекающую две его стороны и продолжение третьей. На этой прямой лежат точки и причем на стороне должна лежать точка на стороне – точка и на продолжении – точка

Затем записываем равенство так, как будто «обходим» весь треугольник от точки к точкам и и затем возвращаемся в точку Но по дороге нам встречаются точки и – их тоже включаем в формулу.

Один из учащихся нашей ЕГЭ-Студии предложил такое мнемоническое правило: пусть точки и – это города, а точки и – заправки, где можно пополнить запас бензина. Тогда правило звучит так: «Едем из города в город, заезжаем на заправку!»Возможно, вы придумаете свое правило : -)

В некоторых задачах полезна обратная теорема Менелая.

Теорема (Менелая, обратная). Пусть дан треугольник Предположим, что точка лежит на стороне точка лежит на стороне а точка лежит на продолжении стороны причём про эти точки известно, что

Тогда эти точки лежат на одной прямой.

Как правило, не так-то просто бывает доказать, что три точки лежат на одной прямой. Обычно мы используем для доказательства такого факта косвенные методы. Например, если для точек и выполняется равенство: – то это означает, что точка лежит на отрезке Или, если нам удается доказать, что угол – развернутый, это и будет означать, что точки и лежат на одной прямой. Обратная теорема Менелая дает еще один способ доказательства того, что три точки – в данном случае и – лежат на одной прямой.

Теорема Чевы

Пусть точки и лежат соответственно на сторонах и треугольника причем отрезки и пересекаются в одной точке. В этом случае выполняется равенство:

Обратная теорема Чевы:

Теорема (Чевы, обратная). Пусть точки лежат соответственно на сторонах и треугольника причём

Тогда отрезки и пересекаются в одной точке.

Как применяются теоремы Менелая и Чевы?

Вот задача Профильного ЕГЭ по математике 2020 года (№16), Санкт-Петербургский вариант.

На сторонах и треугольника отмечены точки и соответственно, причём Отрезки и пересекаются в точке

а) Докажите, что — параллелограмм.
б) Найдите если отрезки и перпендикулярны,

Докажем пункт (а) с помощью теоремы Менелая:

Пусть

По теореме Чевы,

тогда

тогда

Это значит, что по двум углам и то есть

Рассмотрим треугольник

Прямая пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны

По теореме Менелая,

тогда

по углу и двум сторонам, отсюда

Мы получили:

— параллелограмм по определению.

Мы доказали то, что требовалось в пункте (а).
Но что делать, если теоремы Менелая и Чевы вы не проходили в школе? Ничего страшного, докажем без теорем Менелая и Чевы. Их легко заменят подобные треугольники.

Обозначим

Докажем, что — параллелограмм.

Пусть — середина

Тогда

Тогда по углу и двум пропорциональным сторонам,

Проведём

По теореме Фалеса

Пусть

по двум углам;

Пусть

по 2 углам,
тогда

Это значит, что по углу и двум сторонам и

При этом

Получим, что в четырёхугольнике :

Значит, — параллелограмм.

Как видим, эти решения примерно одного уровня сложности.
А вот в пункте (б) нет необходимости применять теоремы Чевы и Менелая. Он легко решается с помощью обычной школьной геометрии.

б) Найдём , если

Поскольку получим, что — прямоугольный.

Мы доказали в пункте (а), что — трапеция, причём

По условию,

Тогда

Пусть

Тогда — параллелограмм (по признаку паралелограмма)

по теореме Пифагора из

Найдём из по теореме косинусов.

Ответ: 17.

 

Вот еще одна задача, которую можно решить как с помощью теоремы Чевы, так и без нее.

На сторонах прямоугольного треугольника с прямым углом построены во внешнюю сторону квадраты и Докажите, что:

а) прямые и отсекают от катетов треугольника равные отрезки
б) прямые и высота треугольника проведённая из вершины пересекаются в одной точке.

Пункт (а) доказывается легко.

а) Пусть ,
.

Докажем, что .

Обозначим

по 2 углам,

, так как

получим:

(1)

по 2 углам,

(2)

отсюда

Решим пункт (б) с помощью теоремы Чевы:

Запишем, чему равны длины отрезков Для длин и воспользуемся тем, что в прямоугольном треугольнике каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Проверим выполнение равенства

Равенство выполняется.
Согласно теореме Чевы, это значит, что и пересекаются в одной точке.
А вот как решается эта задача без теоремы Чевы, с помощью векторов:

Смотрите решение: https://ege-study.ru/zadacha-na-dokazatelstvo-planimetriya/

Математик Менелай Александрийский жил в I веке до нашей эры (Древний Рим).
Математик и инженер Джованни Чева – XVII век, Италия.

Как видим, теоремы Менелая и Чевы оказываются полезны в некоторых задачах. Очень хорошо, если вы знаете эти теоремы. Однако если они для вас непривычны, можно применить простой школьный прием – пары подобных треугольников.