Анна Малкова
Эти две полезные теоремы – теорема Менелая и теорема Чевы - чаще применяются при решении олимпиадных задач, чем на ЕГЭ по математике. Однако в 2020 году в ряде вариантов ЕГЭ обнаружилась задача по планиметрии (№16), которую на первый взгляд невозможно решить без теоремы Менелая или теоремы Чевы. Но на самом деле, конечно, возможно. Например, в Санкт-Петербурге попались такие задачи.
Разберемся, что это за теоремы и как применяются. И действительно ли на ЕГЭ дали задачи на применение теорем, выходящих за рамки школьной программы. И можно ли эти задачи решить по-другому?
Теорема Менелая:
Пусть прямая пересекает произвольный треугольник причем
– точка ее пересечения со стороной
– точка ее пересечения со стороной
и
– точка ее пересечения с продолжением стороны
Тогда выполняется равенство:
Как это запомнить? Сначала рисуем треугольник Затем прямую, пересекающую две его стороны и продолжение третьей. На этой прямой лежат точки
и
причем на стороне
должна лежать точка
на стороне
– точка
и на продолжении
– точка
Затем записываем равенство так, как будто «обходим» весь треугольник от точки
к точкам
и
и затем возвращаемся в точку
Но по дороге нам встречаются точки
и
– их тоже включаем в формулу.
Один из учащихся нашей ЕГЭ-Студии предложил такое мнемоническое правило: пусть точки и
– это города, а точки
и
– заправки, где можно пополнить запас бензина. Тогда правило звучит так: «Едем из города в город, заезжаем на заправку!»Возможно, вы придумаете свое правило : -)
В некоторых задачах полезна обратная теорема Менелая.
Теорема (Менелая, обратная). Пусть дан треугольник Предположим, что точка
лежит на стороне
точка
лежит на стороне
а точка
лежит на продолжении стороны
причём про эти точки известно, что
Тогда эти точки лежат на одной прямой.
Как правило, не так-то просто бывает доказать, что три точки лежат на одной прямой. Обычно мы используем для доказательства такого факта косвенные методы. Например, если для точек и
выполняется равенство:
– то это означает, что точка
лежит на отрезке
Или, если нам удается доказать, что угол
– развернутый, это и будет означать, что точки
и
лежат на одной прямой. Обратная теорема Менелая дает еще один способ доказательства того, что три точки – в данном случае
и
– лежат на одной прямой.
Теорема Чевы
Пусть точки и
лежат соответственно на сторонах
и
треугольника
причем отрезки
и
пересекаются в одной точке. В этом случае выполняется равенство:
Обратная теорема Чевы:
Теорема (Чевы, обратная). Пусть точки лежат соответственно на сторонах
и
треугольника
причём
Тогда отрезки и
пересекаются в одной точке.
Как применяются теоремы Менелая и Чевы?
Вот задача Профильного ЕГЭ по математике 2020 года (№16), Санкт-Петербургский вариант.
На сторонах и
треугольника
отмечены точки
и
соответственно, причём
Отрезки
и
пересекаются в точке
а) Докажите, что — параллелограмм.
б) Найдите если отрезки
и
перпендикулярны,
Докажем пункт (а) с помощью теоремы Менелая:
Пусть
По теореме Чевы,
тогда
тогда
Это значит, что по двум углам и
то есть
Рассмотрим треугольник
Прямая пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны
По теореме Менелая,
тогда
по углу и двум сторонам, отсюда
Мы получили:
— параллелограмм по определению.
Мы доказали то, что требовалось в пункте (а).
Но что делать, если теоремы Менелая и Чевы вы не проходили в школе? Ничего страшного, докажем без теорем Менелая и Чевы. Их легко заменят подобные треугольники.
Обозначим
Докажем, что — параллелограмм.
Пусть — середина
Тогда
Тогда по углу и двум пропорциональным сторонам,
Проведём
По теореме Фалеса
Пусть
по двум углам;
Пусть
по 2 углам,
тогда
Это значит, что по углу и двум сторонам и
При этом
Получим, что в четырёхугольнике :
Значит, — параллелограмм.
Как видим, эти решения примерно одного уровня сложности.
А вот в пункте (б) нет необходимости применять теоремы Чевы и Менелая. Он легко решается с помощью обычной школьной геометрии.
б) Найдём , если
Поскольку получим, что
— прямоугольный.
Мы доказали в пункте (а), что — трапеция, причём
По условию,
Тогда
Пусть
Тогда — параллелограмм (по признаку паралелограмма)
по теореме Пифагора из
Найдём из
по теореме косинусов.
Ответ: 17.
Вот еще одна задача, которую можно решить как с помощью теоремы Чевы, так и без нее.
На сторонах прямоугольного треугольника с прямым углом
построены во внешнюю сторону квадраты
и
Докажите, что:
а) прямые и
отсекают от катетов треугольника
равные отрезки
б) прямые и высота треугольника
проведённая из вершины
пересекаются в одной точке.
Пункт (а) доказывается легко.
а) Пусть ,
.
Докажем, что .
Обозначим
по 2 углам,
, так как
получим:
(1)
по 2 углам,
(2)
отсюда
Решим пункт (б) с помощью теоремы Чевы:
Запишем, чему равны длины отрезков Для длин
и
воспользуемся тем, что в прямоугольном треугольнике каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
Проверим выполнение равенства
Равенство выполняется.
Согласно теореме Чевы, это значит, что и
пересекаются в одной точке.
А вот как решается эта задача без теоремы Чевы, с помощью векторов:
Смотрите решение: https://ege-study.ru/zadacha-na-dokazatelstvo-planimetriya/
Математик Менелай Александрийский жил в I веке до нашей эры (Древний Рим).
Математик и инженер Джованни Чева – XVII век, Италия.
Как видим, теоремы Менелая и Чевы оказываются полезны в некоторых задачах. Очень хорошо, если вы знаете эти теоремы. Однако если они для вас непривычны, можно применить простой школьный прием – пары подобных треугольников.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Теорема Менелая, теорема Чевы – нужны на ЕГЭ или нет?» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 04.09.2023