previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 13, Тренировочная работа 18.12.19 Вариант Запад

Условие задачи

а) Решите уравнение \left(\sqrt{2}{{sin}^2 x}+{cos x}-\sqrt{2}\right)\sqrt{-6{sin x}}=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right].

Решение

а) \left(\sqrt{2}{{sin}^2 x}+{cos x}-\sqrt{2}\right)\sqrt{-6{sin x}}=0.

\left(\sqrt{2}\left({{sin}^2 x}-1\right)+{cos x}\right)\sqrt{-6{sin x}}=0,

\left({cos x}-\sqrt{2}{{cos}^2 x}\right)\sqrt{-6{sin x}}=0,

{cos x}\left(1-\sqrt{2}{cos x}\right)\sqrt{-6{sin x}}=0.

Уравнение преобразуется в равносильную систему

\left\{ \begin{array}{c}{sin x}\leq 0, \\\left[ \begin{array}{c}{sin x}=0, \\{cos x}=0, \\1-\sqrt{2}{cos x}=0 \end{array}\right. \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}{sin x}\leq 0, \\\left[ \begin{array}{c}{sin x}=0, \\{cos x}=0, \\{cos x}=\frac{\sqrt{2}}{2}. \end{array}\right. \end{array}\right.

Изобразим тригонометрический круг и на нём отметим точки, соответствующие найденным значениям синуса и косинусов.

С учётом ограничения {sin x}\le 0 получаем серии решений:

\displaystyle \left[ \begin{array}{c}x=\pi n,n\in Z, \\x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k,k\in Z, \\x=-\frac{\pi }{4}+2\pi m,m\in Z. \end{array}\right.

б) С помощью тригонометрического круга отберём корни, принадлежащие отрезку \displaystyle \left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right]. Получаем точки \displaystyle 2\pi ;3\pi ;\frac{7\pi }{2}.

Ответ:

а) \displaystyle x=\pi n, \; n\in Z;\;x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k,\; k\in Z;\;x=-\frac{\pi }{4}+2\pi m,\; m\in Z;

б) \displaystyle 2\pi ; \; 3\pi ; \;\frac{7\pi }{2}.